Oscilador Harmônico Isotrópico em Três Dimensões

Considere uma partícula sujeita a uma força central $F = -kr$ direcionada ao origem e proporcional à distância da origem. Assim, a energia potencial $U(r)$ é dada por:

$$U(r) = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2, \quad \omega^2 = \frac{k}{m}, \quad F = - \nabla U(r).$$

O Hamiltoniano é:

$$H = \frac{1}{2}\frac{P^2}{m} + \frac{1}{2}m\omega^2 R^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{P_x^2 + P_y^2 + P_z^2}{m} + m\omega^2(X^2 + Y^2 + Z^2)\right),$$

o que pode ser reescrito como a soma de Hamiltonianos nas direções $x$, $y$ e $z$:

$$H = H_x + H_y + H_z.$$

O espaço de estados $E$ pode ser escrito como um produto tensorial de espaços, $E = E_x \otimes E_y \otimes E_z$. Sabemos que as funções próprias para cada $H_i$ em $E_i$ são dadas por:

$$H_i | \Phi_{n_i} \rangle = \left(n_i + \frac{1}{2}\right)\hbar \omega | \Phi_{n_i} \rangle,$$

onde $|\Phi_{n_i}\rangle$ forma uma base ortonormal para $E_i$.

A base ortonormal para o espaço total $E$ é dada por:

$$|\Psi_{n_x,n_y,n_z}\rangle = |\Phi_{n_x}\rangle \otimes |\Phi_{n_y}\rangle \otimes |\Phi_{n_z}\rangle.$$

O Hamiltoniano total age sobre o estado $|\Psi_{n_1,n_2,n_3}\rangle$ como:

$$H |\Psi_{n_1,n_2,n_3}\rangle = \left(n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2}\right)\hbar \omega |\Psi_{n_x,n_y,n_z}\rangle.$$

Os níveis de energia do oscilador harmônico tridimensional são:

$$E_n = \left(n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2}\right)\hbar \omega, \quad n = n_x + n_y + n_z,$$

onde $n$ é um número inteiro não negativo. Todos os níveis de energia, exceto $E_0$, são degenerados, com $E_0 = \frac{3}{2}\hbar \omega$ não sendo degenerado.

Problema:

Para o oscilador harmônico isotrópico tridimensional, as energias próprias são dadas por $E = (n + \frac{3}{2})\hbar \omega$, com $n = n_1 + n_2 + n_3$, onde $n_1$, $n_2$ e $n_3$ são os números quânticos associados às oscilações ao longo dos eixos cartesianos. Derive uma fórmula para a degenerescência do estado quântico $n$ para partículas sem spin confinadas nesse potencial.

Solução:

Temos $n = n_1 + n_2 + n_3$, com $n_i = 0, 1, 2, \dots$. Para um dado $n$, escolhemos um valor específico para $n_1$. Então, $n_2 + n_3 = n - n_1$. Existem $n - n_1 + 1$ pares possíveis ${n_2, n_3}$. O valor de $n_2$ pode variar de $0$ até $n-1$, e para cada $n_2$, o valor de $n_3$ é fixo.

A degenerescência do estado é então dada por:

$$g_n = \sum_{n_1=0}^{n} (n - n_1 + 1) = \sum_{n_1=0}^{n} (n + 1) - \sum_{n_1=0}^{n} n_1 = (n + 1)(n + 1) - \frac{1}{2}n(n + 1) = \frac{1}{2}n(n + 1)(n + 2).$$