Mecânica Quântica

Momento Angular O operador $J$, cujos componentes cartesianas satisfazem as relações de comutação $$ [J_i, J_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} J_k $$ é definido como um operador de momento angular. Para tal operador, temos $[J_i, J^2] = 0$, ou seja, o operador $J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2$ comuta com cada componente cartesiana de $J$. Podemos, portanto, encontrar uma base ortonormal de funções próprias comuns a $J^2$ e $J_z$. Denotamos essa base por ${|k,j,m\rangle}$. Temos $$ J^2 |k,j,m\rangle = j(j + 1) \hbar^2 |k,j,m\rangle, \quad J_z |k,j,m\rangle = m\hbar |k,j,m\rangle. $$ O índice $j$ pode assumir apenas valores inteiros ou semi-inteiros positivos. Para um dado $j$, o índice $m$ pode assumir um dos $2j + 1$ valores possíveis, $m = -j, -j + 1, \dots, j - 1, j$. ...

Partícula em um Potencial Central Consideremos uma partícula sem spin de massa $m$ em um potencial central $U(r)$. O operador Hamiltoniano é dado por: $$ H = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r \right) + \frac{L^2}{2mr^2} + U(r) $$ Aqui, $L^2$ é o operador do quadrado do momento angular, e as relações de comutação $ [H, L_i] = 0 $ e $ [H, L^2] = 0 $ indicam que o momento angular $L$ é uma constante de movimento. Assim, podemos encontrar uma base comum de autovetores para $H$, $L^2$ e $L_z$. ...

A partícula sujeita a uma força central $ \mathbf{F} = -k \mathbf{r} $, direcionada para a origem e proporcional à distância da origem, tem um potencial dado por $ U(r) = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m\omega^2r^2 $, com $ \omega^2 = \frac{k}{m} $ e $ \mathbf{F} = -\nabla U(r) $. O Hamiltoniano da partícula é dado por: $$ H = \frac{1}{2} \frac{P^2}{m} + \frac{1}{2} m \omega^2 R^2 = \frac{1}{2m}(P_x^2 + P_y^2 + P_z^2) + \frac{1}{2} m \omega^2 (X^2 + Y^2 + Z^2) $$ ...

A Partícula Livre Soluções de Partícula Livre para a Equação de Schrödinger Uma partícula livre não está sujeita a forças, e sua energia potencial é constante. Definimos $U(r,t) = 0$, já que a origem da energia potencial pode ser escolhida arbitrariamente. A equação de Schrödinger então se torna: $$ i \hbar \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi(r,t) $$ Ondas planas $ \Psi(r,t) = A \exp(i(k \cdot r - \omega t)) $ são soluções possíveis, desde que a relação ...

O Valor Médio em Mecânica Quântica O valor médio em Mecânica Quântica é o resultado médio obtido quando um grande número de medições é realizado em sistemas idênticos, ou seja, sistemas no mesmo estado $ |\Psi(t)\rangle $. Para o oscilador harmônico: $ \langle X \rangle = \langle \Phi_n | X | \Phi_n \rangle = 0, \quad \langle P \rangle = \langle \Phi_n | P | \Phi_n \rangle = 0. $ O valor médio de $ X $ e $ P $ em um autovalor de $ H $ é sempre zero. ...

A Evolução do Valor Médio de um Observável Na representação de Heisenberg, temos uma equação para a evolução dos operadores: $$ \frac{dA_H}{dt} = \left( \frac{\partial A_S}{\partial t} \right)_H + \frac{i}{\hbar} [A_H, H_H] $$ A equação correspondente na representação de Schrödinger descreve a evolução do valor médio de um observável: $$ \frac{d}{dt} \langle \Psi_S(t) | A_S | \Psi_S(t) \rangle = \langle \Psi_S(t) | \frac{\partial A_S}{\partial t} | \Psi_S(t) \rangle + \frac{i}{\hbar} \langle \Psi_S(t) | [A_S, H_S] | \Psi_S(t) \rangle $$ ...

Comutadores e Operadores em Mecânica Quântica Considere dois operadores $A$ e $B$. Suponha que $[A, B] = C$ e $[A, C] = [B, C] = 0$, onde, frequentemente, $C$ é apenas uma constante multiplicada pelo operador identidade. Derivação para o Comutador de $A$ com $e^{gB}$ Começamos com a expressão para o comutador de $A$ com a exponencial de $B$: $$ [A, e^{gB}] = [A, 1 + gB + \frac{g^2}{2!} B^2 + \frac{g^3}{3!} B^3 + \dots] $$ ...

Dispersão Elástica Em um experimento típico de dispersão, um alvo é atingido por um feixe de partículas mono-energéticas. Seja $F_i$ o fluxo incidente, ou seja, o número de partículas por unidade de área por unidade de tempo. $$F_i = n_p v$$, onde $n_p$ é o número de partículas por unidade de volume. Normalmente, $n_p$ é muito pequeno, e podemos negligenciar qualquer interação entre as partículas incidentes. Medimos o número $\Delta N_p$ de partículas dispersas por unidade de tempo em um ângulo sólido $\Delta \Omega$ ao redor da direção definida pelas coordenadas esféricas $\theta$ e $\phi$. Esperamos que $\Delta N_p \propto F_i$, e $\Delta N_p \propto \Delta \Omega$. Definimos $\Delta N_p = \sigma_t(\theta,\phi) F_i \Delta \Omega$. Aqui, $\sigma_t(\theta,\phi)$ é a seção transversal diferencial de dispersão do alvo. Ela tem as unidades de área. As unidades comumente usadas são cm² e barn = $10^{-24}$ cm². ...

Pressupostos Fundamentais da Mecânica Quântica Em uma representação particular e aplicada a um sistema composto por uma partícula única, sem estrutura, os pressupostos fundamentais da Mecânica Quântica são: O estado quântico de uma partícula é caracterizado por uma função de onda $\Psi(r,t)$, que contém todas as informações sobre o sistema que um observador pode obter. A função de onda $\Psi(r,t)$ é interpretada como uma amplitude de probabilidade da presença da partícula. O quadrado do módulo $|\Psi(r,t)|^2$ é a densidade de probabilidade. ...

Considere uma partícula sujeita a uma força central $F = -kr$ direcionada ao origem e proporcional à distância da origem. Assim, a energia potencial $U(r)$ é dada por: $$ U(r) = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2, \quad \omega^2 = \frac{k}{m}, \quad F = - \nabla U(r). $$ O Hamiltoniano é: $$ H = \frac{1}{2}\frac{P^2}{m} + \frac{1}{2}m\omega^2 R^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{P_x^2 + P_y^2 + P_z^2}{m} + m\omega^2(X^2 + Y^2 + Z^2)\right), $$ o que pode ser reescrito como a soma de Hamiltonianos nas direções $x$, $y$ e $z$: ...