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Considere uma função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Fixe um ponto $x_0$ e escreva $y_0 = f(x_0)$. Para $x$ próximo de $x_0$, definimos $$ \Delta x = x - x_0, \quad \Delta y = f(x) - f(x_0). $$ A derivada de $f$ em $x_0$ é definida por $$ f’(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $$ Para $\Delta x$ pequeno, tem-se a aproximação $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f’(x_0), $$ o que implica $$ \Delta y \approx f’(x_0)\Delta x. $$ ...

Introdução O cálculo se organiza em torno de dois conceitos principais: derivadas e integrais. A derivada descreve como uma quantidade varia em relação a outra, enquanto a integral pode ser vista tanto como o processo inverso da derivação quanto como um limite de somas. Para ilustrar, considere um objeto em movimento cuja velocidade é conhecida ao longo do tempo. A distância percorrida pode ser aproximada dividindo o intervalo de tempo em partes menores e somando, em cada parte, o produto da velocidade pelo tempo correspondente. À medida que essas partes se tornam menores, essa soma se aproxima de um valor limite, que é a integral. ...

Introdução Considere duas quantidades físicas relacionadas por uma função $$ x = f(t). $$ Taxas de variação descrevem como mudanças em $t$ afetam $x$. A taxa média de variação entre dois valores $t_0$ e $t_1$ é dada por $$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1 - t_0}. $$ Para funções lineares, essa quantidade é constante. Para funções não lineares, ela depende da escolha de $t_0$ e $t_1$. O objetivo é obter uma quantidade que dependa apenas de um ponto. Isso leva à noção de taxa instantânea de variação. ...

Há um certo prazer em perceber que um objeto complicado, quando observado sob a lente correta, revela uma estrutura surpreendentemente simples. Recentemente, estive pensando a respeito de combinações lineares de variáveis qui-quadrado e gamma. À primeira vista, trata-se de um problema que parece condenado à complexidade: somas de variáveis gamma independentes, em geral, não admitem formas fechadas elegantes. Em vez disso, somos conduzidos a convoluções, funções especiais e expressões que existem mais no papel do que na prática. ...

Introdução Considere uma cadeia de decaimento radioativo: $$ X_1 \rightarrow X_2 \rightarrow \cdots \rightarrow X_n $$ Cada núcleo $X_j$ decai com constante de decaimento $\lambda_j$, e uma fração $b_j$ gera o próximo elemento da cadeia. Definimos $N_j(t)$ como a quantidade de $X_j$ no tempo $t$, produzida ao longo da cadeia. O sistema é descrito por: $$ \frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1 $$ $$ \frac{dN_j}{dt} = b_{j-1}\lambda_{j-1}N_{j-1} - \lambda_j N_j, \quad j \ge 2 $$ ...

Há um tipo de problema em cálculo que aparece repetidamente: situações do mundo real onde queremos fazer algo da melhor forma possível. Minimizar custo, maximizar área, otimizar eficiência. Esses são os chamados problemas de máximo e mínimo. A ideia geral é simples, embora a execução às vezes exija algum cuidado. O método geral Em um problema típico: Traduzimos a situação para equações Eliminamos variáveis desnecessárias Obtemos uma função de uma variável Encontramos onde essa função atinge máximo ou mínimo Na prática, isso quase sempre significa: ...

Introdução Neste texto, estudamos o comportamento assintótico de convoluções de funções. Dadas duas funções ( f ) e ( g ), definidas para ( t \ge 0 ), queremos entender como a convolução $$ (f * g)(t) $$ se comporta quando ( t \to \infty ). Em muitos casos, é possível substituir essa expressão por uma função mais simples que descreve o comportamento dominante. Definição de convolução Se ( f ) e ( g ) são integráveis em todo intervalo ( (0,T) ), sua convolução é definida por ...

Introdução Neste post, exploramos três conceitos fundamentais da análise matemática: funções unimodais convolução funções log-côncavas O objetivo é entender como essas ideias se conectam, especialmente no estudo da preservação da unimodalidade sob convolução. Funções Unimodais Uma função é chamada de unimodal quando possui um único ponto de máximo (modo). Formalmente, existe um ponto $a$ tal que: a função é não-decrescente em $(-\infty, a]$ a função é não-crescente em $[a, \infty)$ Ou seja, a função cresce até $a$ e depois decresce. ...

Introdução A glicose é a principal fonte de energia do organismo humano e sua concentração no sangue é rigidamente controlada por mecanismos hormonais, principalmente pela insulina. Do ponto de vista matemático, essa dinâmica pode ser descrita por sistemas de equações diferenciais que representam produção, consumo e regulação hormonal. Carboidratos e glicose Carboidratos possuem fórmula geral: $$ C_x(H_2O)_y $$ Classificação: Monossacarídeos: glicose, frutose, galactose Dissacarídeos: sacarose, lactose, maltose Polissacarídeos: amido, glicogênio, celulose A glicose (C_6H_{12}O_6) possui massa molar: ...

Introdução Este trabalho estuda processos de Markov em tempo contínuo nos quais as taxas de transição de um grupo de estados (os estados rápidos) são grandes em comparação com as taxas de transição dos outros estados (os estados lentos). Para propriedades básicas de processos de Markov, ver Brémaud [1]. Os estados lentos serão numerados como $1, 2, \dots, n$ e os estados rápidos como $n+1, \dots, n+m$. Notação Considere as seguintes taxas de transição: ...