O Valor Médio em Mecânica Quântica

O valor médio em Mecânica Quântica é o resultado médio obtido quando um grande número de medições é realizado em sistemas idênticos, ou seja, sistemas no mesmo estado $ |\Psi(t)\rangle $.

Para o oscilador harmônico:
$ \langle X \rangle = \langle \Phi_n | X | \Phi_n \rangle = 0, \quad \langle P \rangle = \langle \Phi_n | P | \Phi_n \rangle = 0. $ O valor médio de $ X $ e $ P $ em um autovalor de $ H $ é sempre zero.

Valor Médio Clássico

O valor médio clássico pode ser definido como o resultado médio obtido quando um grande número de medições é realizado no mesmo sistema em diferentes momentos, ou quando um grande número de medições é realizado ao mesmo tempo em diferentes sistemas cujas fases são escolhidas aleatoriamente:

$ x_{\text{avg}} = \frac{x_M}{T} \int_0^T \cos(\omega t + \phi) , dt = 0, \quad T = \frac{2\pi}{\omega}. $

Ou:

$ x_{\text{avg}} = \frac{x_M}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos(\omega t + \phi) , d\phi = 0. $

De forma semelhante:

$ p_{\text{avg}} = -m v = -\frac{m\omega x_M}{T} \int_0^T \sin(\omega t + \phi) , dt = 0, $

Ou:

$ p_{\text{avg}} = -\frac{m\omega x_M}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sin(\omega t + \phi) , d\phi = 0. $

Para um oscilador harmônico com energia bem definida:
$ \langle X \rangle = x_{\text{avg}} = 0, \quad \langle P \rangle = p_{\text{avg}} = 0. $

Nota: O valor médio clássico e o valor médio quântico possuem interpretações diferentes.