O Valor Médio em Mecânica Quântica

O valor médio em Mecânica Quântica é o resultado médio obtido quando um grande número de medições é realizado em sistemas idênticos, ou seja, sistemas no mesmo estado ∣Ψ(t)⟩ |\Psi(t)\rangle .

Para o oscilador harmônico:
⟨X⟩=⟨Φn∣X∣Φn⟩=0,⟨P⟩=⟨Φn∣P∣Φn⟩=0. \langle X \rangle = \langle \Phi_n | X | \Phi_n \rangle = 0, \quad \langle P \rangle = \langle \Phi_n | P | \Phi_n \rangle = 0. O valor médio de X X e P P em um autovalor de H H é sempre zero.

Valor Médio Clássico

O valor médio clássico pode ser definido como o resultado médio obtido quando um grande número de medições é realizado no mesmo sistema em diferentes momentos, ou quando um grande número de medições é realizado ao mesmo tempo em diferentes sistemas cujas fases são escolhidas aleatoriamente:

xavg=xMT∫0Tcos⁡(ωt+ϕ),dt=0,T=2πω. x_{\text{avg}} = \frac{x_M}{T} \int_0^T \cos(\omega t + \phi) , dt = 0, \quad T = \frac{2\pi}{\omega}.

Ou:

xavg=xM2π∫02πcos⁡(ωt+ϕ),dϕ=0. x_{\text{avg}} = \frac{x_M}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos(\omega t + \phi) , d\phi = 0.

De forma semelhante:

pavg=−mv=−mωxMT∫0Tsin⁡(ωt+ϕ),dt=0, p_{\text{avg}} = -m v = -\frac{m\omega x_M}{T} \int_0^T \sin(\omega t + \phi) , dt = 0,

Ou:

pavg=−mωxM2π∫02πsin⁡(ωt+ϕ),dϕ=0. p_{\text{avg}} = -\frac{m\omega x_M}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sin(\omega t + \phi) , d\phi = 0.

Para um oscilador harmônico com energia bem definida:
⟨X⟩=xavg=0,⟨P⟩=pavg=0. \langle X \rangle = x_{\text{avg}} = 0, \quad \langle P \rangle = p_{\text{avg}} = 0.

Nota: O valor médio clássico e o valor médio quântico possuem interpretações diferentes.