Pressupostos Fundamentais da Mecânica Quântica

Em uma representação particular e aplicada a um sistema composto por uma partícula única, sem estrutura, os pressupostos fundamentais da Mecânica Quântica são:

O estado quântico de uma partícula é caracterizado por uma função de onda $\Psi(r,t)$, que contém todas as informações sobre o sistema que um observador pode obter.
A função de onda $\Psi(r,t)$ é interpretada como uma amplitude de probabilidade da presença da partícula. O quadrado do módulo $|\Psi(r,t)|^2$ é a densidade de probabilidade.
A probabilidade de que uma partícula, no tempo $t$, esteja em um elemento de volume $d^3r$ situado em $r$ é dada por:

$$dP(r,t) = C|\Psi(r,t)|^2 d^3r.$$

Para uma partícula única, a probabilidade total de encontrá-la em qualquer lugar do espaço, no tempo $t$, é igual a 1:

$$\int_{\text{todo o espaço}} P(r,t) d^3r = 1, \quad C \int_{\text{todo o espaço}} |\Psi(r,t)|^2 d^3r = 1, \quad \int_{\text{todo o espaço}} |\Psi(r,t)|^2 d^3r = \text{finito.}$$

Uma função de onda apropriada deve ser quadrado-integrável.

O princípio da decomposição espectral se aplica à medição de uma quantidade física arbitrária $A$. O resultado de uma medição pertence a um conjunto de autovalores ${a}$. Cada autovalor é associado a uma autofunção $\Psi_a(r)$. Se $\Psi(r,t_0) = \Psi_a(r)$, então uma medição de $A$ no instante $t = t_0$ resultará no autovalor $a$.
Qualquer função de onda $\Psi(r,t_0)$ pode ser expandida em termos de autofunções:

$$\Psi(r,t_0) = \sum_a c_a \Psi_a(r).$$

A probabilidade de que uma medição em $t = t_0$ resulte no autovalor $a’$ é dada por:

$$P_{a’} = \frac{|c_{a’}|^2}{\sum_a |c_a|^2}.$$

Se uma medição de $A$ resultar no autovalor $a$, então a função de onda imediatamente após a medição é $\Psi_a(r)$.
A equação de Schrödinger descreve a evolução de $\Psi(r,t)$:

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(r,t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(r,t)\right) \Psi(r,t),$$

onde $U(r,t)$ é a energia potencial da partícula de massa $m$.