Mecânica Lagrangiana

Restrições

Impor restrições a um sistema é uma forma de afirmar que há forças presentes no problema que não podem ser especificadas diretamente, mas são conhecidas em termos de seu efeito no movimento do sistema. Restrições holonômicas são aquelas da forma:

fm(r1,r2,r3,…,rn,t)=0,m=1,2,3,…,k. f_m(r_1, r_2, r_3, \dots, r_n, t) = 0, \quad m = 1, 2, 3, \dots, k.

Essas restrições reduzem o número de graus de liberdade do sistema. Se o sistema tem nn partículas, as kk equações de restrição reduzem o número de graus de liberdade de 3n3n para 3n−k3n - k, se as restrições forem holonômicas. Se as restrições são holonômicas, as forças de restrição não realizam trabalho virtual.

Considere uma deslocamento virtual do sistema, ou seja, uma mudança infinitesimal nas coordenadas do sistema, denotada por dridr_i, consistente com as restrições impostas ao sistema em um dado instante tt. O trabalho realizado pela força durante o deslocamento virtual dridr_i é chamado de trabalho virtual. Para restrições holonômicas, as forças de restrição são perpendiculares aos deslocamentos virtuais e não realizam trabalho virtual.

Coordenadas Generalizadas

Qualquer conjunto de quantidades independentes q1,q2,…,qsq_1, q_2, \dots, q_s, que definem completamente a posição do sistema com ss graus de liberdade, são chamadas de coordenadas generalizadas do sistema. As derivadas dessas coordenadas são chamadas de velocidades generalizadas.

Exemplos:

  • Uma partícula é restrita a mover-se no plano xx-yy, a equação de restrição é z=0z = 0. A restrição é holonômica. Possíveis coordenadas generalizadas para o sistema com dois graus de liberdade são xx, yy; rr, ϕ\phi; etc.
  • Uma partícula é restrita a mover-se em um círculo no plano xx-yy, as equações de restrição são z=0z = 0, x2+y2−r2=0x^2 + y^2 - r^2 = 0. As restrições são holonômicas. Possíveis coordenadas generalizadas para o sistema com um grau de liberdade são ϕ\phi.

As coordenadas generalizadas q1,…,qsq_1, \dots, q_s podem ser expressas em termos das coordenadas cartesianas do sistema:

q1=q1(r1,r2,…,rn),…,qn−m=qn−m(r1,r2,…,rn). q_1 = q_1(r_1, r_2, \dots, r_n), \dots, q_{n-m} = q_{n-m}(r_1, r_2, \dots, r_n).

Essas equações, juntamente com a equação de restrições, podem ser invertidas para encontrar as rr’s em termos das qq’s.

Mecânica Lagrangiana

Assuma que um sistema tem nn coordenadas generalizadas independentes qi{q_i}. Assuma que as forças aplicadas generalizadas Qj{Q_j} sejam dadas por:

Qj=−∂U∂qjouQj=−∂U∂qj+ddt(∂U∂q˙j), Q_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j} \quad \text{ou} \quad Q_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j} + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_j} \right),

com UU sendo uma função escalar, ou seja, as forças aplicadas generalizadas podem ser derivadas de um potencial. As equações de movimento podem ser obtidas a partir das equações de Lagrange:

ddt(∂L∂q˙i)−∂L∂qi=0, \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0,

onde L=T−UL = T - U é a Lagrangiana do sistema, sendo TT a energia cinética e UU a energia potencial. LL é uma função das coordenadas qiq_i e das velocidades q˙i\dot{q}_i.

Se nem todas as forças atuando no sistema podem ser derivadas de um potencial, as equações de Lagrange podem ser escritas na forma:

ddt(∂L∂q˙i)−∂L∂qi=Qj, \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_j,

onde LL contém o potencial das forças conservativas e QjQ_j representa as forças generalizadas que não surgem de um potencial.

Definição de Momento Generalizado

Defina o momento generalizado ou momento conjugado através de:

∂L∂q˙i=pi. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = p_i.

Se a Lagrangiana não contiver uma coordenada específica qjq_j, essa coordenada é chamada de cíclica e o momento conjugado correspondente pjp_j é conservado.

Hamiltoniana

A Hamiltoniana HH de um sistema é dada por:

H(q,p,t)=∑iq˙ipi−L. H(q, p, t) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L.

HH é uma função das coordenadas generalizadas e dos momentos do sistema. As equações de movimento podem ser obtidas a partir das equações de Hamilton:

dqidt=∂H∂pi,dpidt=−∂H∂qi. \frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.

Se as forças generalizadas forem dadas por Qj=−∂U∂qjQ_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j}:

  • Se a Lagrangiana não depender explicitamente do tempo, então a Hamiltoniana também não depende explicitamente do tempo, e HH é uma constante de movimento. [Se HH depende explicitamente do tempo, H=H(t)H = H(t), então HH não é constante.]
  • Se as coordenadas generalizadas não dependerem explicitamente do tempo, então H=T+U=EH = T + U = E, a energia total do sistema. [Se as coordenadas generalizadas dependerem explicitamente do tempo, então HH não é a energia total do sistema.]
  • Portanto, somente se a Lagrangiana não depender explicitamente do tempo e as coordenadas generalizadas não dependerem explicitamente do tempo, então H=T+U=EH = T + U = E e a energia é uma constante de movimento.

Multiplicadores de Lagrange

Assuma que você escolheu coordenadas para um sistema que não são independentes, mas estão conectadas por mm equações de restrição da forma:

∑kalkdqk+aldt=0,l=1,…,m. \sum_k a_{lk} dq_k + a_l dt = 0, \quad l = 1, \dots, m.

Então, as equações de movimento podem ser obtidas a partir de:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = \sum_l \lambda_l a{lk}, \quad (\text{equações n}) $$

∑kalkdqk+aldt=0(equac¸o˜es m). \sum_k a_{lk} dq_k + a_l dt = 0 \quad (\text{equações m}).

Temos m+nm + n equações e m+nm + n incógnitas, as nn coordenadas e os mm λl\lambda_l. Os λl\lambda_l são chamados de multiplicadores de Lagrange não determinados, e ∑lλlalk\sum_l \lambda_l a_{lk} é a força generalizada de restrição associada à coordenada qkq_k.