Mecânica Lagrangiana

Restrições

Impor restrições a um sistema é uma forma de afirmar que há forças presentes no problema que não podem ser especificadas diretamente, mas são conhecidas em termos de seu efeito no movimento do sistema. Restrições holonômicas são aquelas da forma:

$$ f_m(r_1, r_2, r_3, \dots, r_n, t) = 0, \quad m = 1, 2, 3, \dots, k. $$

Essas restrições reduzem o número de graus de liberdade do sistema. Se o sistema tem $n$ partículas, as $k$ equações de restrição reduzem o número de graus de liberdade de $3n$ para $3n - k$, se as restrições forem holonômicas. Se as restrições são holonômicas, as forças de restrição não realizam trabalho virtual.

Considere uma deslocamento virtual do sistema, ou seja, uma mudança infinitesimal nas coordenadas do sistema, denotada por $dr_i$, consistente com as restrições impostas ao sistema em um dado instante $t$. O trabalho realizado pela força durante o deslocamento virtual $dr_i$ é chamado de trabalho virtual. Para restrições holonômicas, as forças de restrição são perpendiculares aos deslocamentos virtuais e não realizam trabalho virtual.

Coordenadas Generalizadas

Qualquer conjunto de quantidades independentes $q_1, q_2, \dots, q_s$, que definem completamente a posição do sistema com $s$ graus de liberdade, são chamadas de coordenadas generalizadas do sistema. As derivadas dessas coordenadas são chamadas de velocidades generalizadas.

Exemplos:

Uma partícula é restrita a mover-se no plano $x$-$y$, a equação de restrição é $z = 0$. A restrição é holonômica. Possíveis coordenadas generalizadas para o sistema com dois graus de liberdade são $x$, $y$; $r$, $\phi$; etc.
Uma partícula é restrita a mover-se em um círculo no plano $x$-$y$, as equações de restrição são $z = 0$, $x^2 + y^2 - r^2 = 0$. As restrições são holonômicas. Possíveis coordenadas generalizadas para o sistema com um grau de liberdade são $\phi$.

As coordenadas generalizadas $q_1, \dots, q_s$ podem ser expressas em termos das coordenadas cartesianas do sistema:

$$ q_1 = q_1(r_1, r_2, \dots, r_n), \dots, q_{n-m} = q_{n-m}(r_1, r_2, \dots, r_n). $$

Essas equações, juntamente com a equação de restrições, podem ser invertidas para encontrar as $r$’s em termos das $q$’s.

Mecânica Lagrangiana

Assuma que um sistema tem $n$ coordenadas generalizadas independentes ${q_i}$. Assuma que as forças aplicadas generalizadas ${Q_j}$ sejam dadas por:

$$ Q_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j} \quad \text{ou} \quad Q_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j} + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_j} \right), $$

com $U$ sendo uma função escalar, ou seja, as forças aplicadas generalizadas podem ser derivadas de um potencial. As equações de movimento podem ser obtidas a partir das equações de Lagrange:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, $$

onde $L = T - U$ é a Lagrangiana do sistema, sendo $T$ a energia cinética e $U$ a energia potencial. $L$ é uma função das coordenadas $q_i$ e das velocidades $\dot{q}_i$.

Se nem todas as forças atuando no sistema podem ser derivadas de um potencial, as equações de Lagrange podem ser escritas na forma:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_j, $$

onde $L$ contém o potencial das forças conservativas e $Q_j$ representa as forças generalizadas que não surgem de um potencial.

Definição de Momento Generalizado

Defina o momento generalizado ou momento conjugado através de:

$$ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = p_i. $$

Se a Lagrangiana não contiver uma coordenada específica $q_j$, essa coordenada é chamada de cíclica e o momento conjugado correspondente $p_j$ é conservado.

Hamiltoniana

A Hamiltoniana $H$ de um sistema é dada por:

$$ H(q, p, t) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L. $$

$H$ é uma função das coordenadas generalizadas e dos momentos do sistema. As equações de movimento podem ser obtidas a partir das equações de Hamilton:

$$ \frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. $$

Se as forças generalizadas forem dadas por $Q_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j}$:

Se a Lagrangiana não depender explicitamente do tempo, então a Hamiltoniana também não depende explicitamente do tempo, e $H$ é uma constante de movimento. [Se $H$ depende explicitamente do tempo, $H = H(t)$, então $H$ não é constante.]
Se as coordenadas generalizadas não dependerem explicitamente do tempo, então $H = T + U = E$, a energia total do sistema. [Se as coordenadas generalizadas dependerem explicitamente do tempo, então $H$ não é a energia total do sistema.]
Portanto, somente se a Lagrangiana não depender explicitamente do tempo e as coordenadas generalizadas não dependerem explicitamente do tempo, então $H = T + U = E$ e a energia é uma constante de movimento.

Multiplicadores de Lagrange

Assuma que você escolheu coordenadas para um sistema que não são independentes, mas estão conectadas por $m$ equações de restrição da forma:

$$ \sum_k a_{lk} dq_k + a_l dt = 0, \quad l = 1, \dots, m. $$

Então, as equações de movimento podem ser obtidas a partir de:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = \sum_l \lambda_l a{lk}, \quad (\text{equações n}) $$

$$ \sum_k a_{lk} dq_k + a_l dt = 0 \quad (\text{equações m}). $$

Temos $m + n$ equações e $m + n$ incógnitas, as $n$ coordenadas e os $m$ $\lambda_l$. Os $\lambda_l$ são chamados de multiplicadores de Lagrange não determinados, e $\sum_l \lambda_l a_{lk}$ é a força generalizada de restrição associada à coordenada $q_k$.