Comutadores e Operadores em Mecânica Quântica

Considere dois operadores $A$ e $B$. Suponha que $[A, B] = C$ e $[A, C] = [B, C] = 0$, onde, frequentemente, $C$ é apenas uma constante multiplicada pelo operador identidade.

Derivação para o Comutador de $A$ com $e^{gB}$

Começamos com a expressão para o comutador de $A$ com a exponencial de $B$:

$$[A, e^{gB}] = [A, 1 + gB + \frac{g^2}{2!} B^2 + \frac{g^3}{3!} B^3 + \dots]$$

Ao expandir, obtemos:

$$= gC + \frac{g^2}{2!} 2BC + \frac{g^3}{3!} 3B^2C + \dots$$

Ou seja,

$$= gC e^{gB}.$$

Agora, vamos considerar o comutador de $A$ com $B^2$:

$$[A, B^2] = CB - BC = 2BC.$$

De forma geral, para $[A, B^n]$, temos:

$$[A, B^n] = n C B^{n-1}.$$

Isso é válido para $n = 1$ e $n = 2$. Mostraremos que, se vale para $n$, também vale para $n+1$.

Indução para o Comutador de $A$ com $B^{n+1}$

Assumimos que para um certo $n$, temos:

$$[A, B^n] = n C B^{n-1}.$$

Agora, calculamos o comutador para $B^{n+1}$:

$$[A, B^{n+1}] = B [ [A, B^n] + [A, B] B^n ] = B \left( n C B^{n-1} + C B^n \right)$$

$$= (n+1) C B^n.$$

Portanto, o comutador $[A, B^n] = n C B^{n-1}$ é válido para todo $n$.

Diferença de Funções Exponenciais de Operadores

Agora, consideremos a função $f(x) = e^{A x} e^{B x}$, onde $x$ é uma variável contínua. O objetivo é calcular $\frac{df}{dx}$.

Usando as propriedades dos comutadores, temos:

$$\frac{d}{dx} f(x) = A e^{A x} e^{B x} + e^{A x} e^{B x} B.$$

Isso pode ser reescrito como:

$$\frac{d}{dx} f(x) = f(x) \left( e^{-B x} A e^{B x} + B \right)$$

$$= f(x) \left( A + x [A, B] + B \right),$$

onde usamos a expressão que provamos anteriormente para o comutador de $A$ e $B$.

Solução da Equação Diferencial

A equação diferencial resultante é:

$$\frac{d}{dx} f(x) = f(x) \left( A + x [A, B] + B \right).$$

A solução dessa equação é:

$$f(x) = e^{(A+B)x} \exp\left(\frac{1}{2} x^2 [A, B] \right).$$

Para $x = 1$, temos então:

$$e^{A+B} = e^A e^B \exp\left(-\frac{1}{2} [A, B] \right).$$