Derivada de $\cos(\psi) + i\sin(\psi)$

Para calcular a derivada de $\cos(\psi) + i\sin(\psi)$, lembramos que:
$$\frac{d}{d\psi} \cos(\psi) = -\sin(\psi) \quad \text{e} \quad \frac{d}{d\psi} \sin(\psi) = \cos(\psi).$$

Portanto:
$$\frac{d}{d\psi} \left( \cos(\psi) + i\sin(\psi) \right) = -\sin(\psi) + i\cos(\psi).$$

Como $-1 = i^2$, podemos reescrever:
$$\frac{d}{d\psi} \left( \cos(\psi) + i\sin(\psi) \right) = i^2 \sin(\psi) + i\cos(\psi) = i \left( \cos(\psi) + i\sin(\psi) \right).$$

Para expressar este resultado de forma mais formal, seja $f(\psi) = \cos(\psi) + i\sin(\psi)$. Então:
$$\frac{d}{d\psi} f(\psi) = i f(\psi).$$

Interpretação: Dentro de uma constante $i$, a função $f(\psi)$ é igual à sua própria derivada.
Qual função familiar se comporta assim? A função exponencial!

Ligação com a Função Exponencial

Sabemos que:
$$\frac{d}{dx} e^{ax} = a e^{ax}.$$

Se substituirmos $x$ por $\psi$ e $a$ por $i$, obtemos:
$$\frac{d}{d\psi} e^{i\psi} = i e^{i\psi}.$$

Isso demonstra a relação entre a função exponencial e $\cos(\psi) + i\sin(\psi)$.

Divisão de Números Complexos

Considere $z_1 = x_1 + iy_1$ e $z_2 = x_2 + iy_2$. Para calcular $\frac{z_1}{z_2}$, multiplicamos o numerador e o denominador por … (o conjugado de $z_2$):
$$ z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 z_2^{\text{}}}{z_2 z_2^{\text{}}}. $$

O denominador torna-se real:
$$z_2 z_2^* = |z_2|^2 = x_2^2 + y_2^2.$$

Expandindo o numerador:
$$z_1 z_2^* = (x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2) = x_1x_2 - ix_1y_2 + iy_1x_2 + y_1y_2.$$

Separando as partes real e imaginária:
$$z = \frac{(x_1x_2 + y_1y_2) + i(-x_1y_2 + y_1x_2)}{x_2^2 + y_2^2}.$$

Portanto:
$$\operatorname{Re}(z) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2 + y_2^2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{-x_1y_2 + y_1x_2}{x_2^2 + y_2^2}.$$

Observação:

A operação de divisão mistura as partes reais e imaginárias dos dois números complexos envolvidos.