A Evolução do Valor Médio de um Observável

Na representação de Heisenberg, temos uma equação para a evolução dos operadores:

dAHdt=(∂AS∂t)H+iℏ[AH,HH] \frac{dA_H}{dt} = \left( \frac{\partial A_S}{\partial t} \right)_H + \frac{i}{\hbar} [A_H, H_H]

A equação correspondente na representação de Schrödinger descreve a evolução do valor médio de um observável:

ddt⟨ΨS(t)∣AS∣ΨS(t)⟩=⟨ΨS(t)∣∂AS∂t∣ΨS(t)⟩+iℏ⟨ΨS(t)∣[AS,HS]∣ΨS(t)⟩ \frac{d}{dt} \langle \Psi_S(t) | A_S | \Psi_S(t) \rangle = \langle \Psi_S(t) | \frac{\partial A_S}{\partial t} | \Psi_S(t) \rangle + \frac{i}{\hbar} \langle \Psi_S(t) | [A_S, H_S] | \Psi_S(t) \rangle

Ou seja, temos:

ddt⟨AS⟩=⟨∂AS∂t⟩+iℏ⟨[AS,HS]⟩ \frac{d}{dt} \langle A_S \rangle = \left\langle \frac{\partial A_S}{\partial t} \right\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle [A_S, H_S] \rangle

Se AA não depende explicitamente do tempo e [A,H]=0[A, H] = 0, então o valor médio ⟨A⟩\langle A \rangle é constante.

Agora, considere o Hamiltoniano:

H=P22m+U(R) H = \frac{P^2}{2m} + U(R)

Então, a evolução do valor médio da posição é dada por:

ddt⟨R⟩=iℏ⟨[R,HS]⟩=iℏ⟨[R,P22m]⟩=⟨P⟩m \frac{d}{dt} \langle R \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [R, H_S] \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [R, \frac{P^2}{2m}] \rangle = \frac{\langle P \rangle}{m}

Da mesma forma, a evolução do valor médio da quantidade de movimento é:

ddt⟨P⟩=iℏ⟨[P,HS]⟩=iℏ⟨[P,U(R)]⟩=−⟨∇U(R)⟩ \frac{d}{dt} \langle P \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [P, H_S] \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [P, U(R)] \rangle = - \langle \nabla U(R) \rangle

Essas duas equações expressam o Teorema de Ehrenfest.

⟨R(t)⟩ \langle R(t) \rangle

denota a posição do centro do pacote de ondas no tempo tt. A questão é: a trajetória seguida pelo centro do pacote de ondas é a mesma que a prevista pelas leis da mecânica clássica?

A equação clássica para a posição é dada por:

md2⟨R⟩dt2=d⟨P⟩dt=−⟨∇U(R)⟩ m \frac{d^2 \langle R \rangle}{dt^2} = \frac{d \langle P \rangle}{dt} = - \langle \nabla U(R) \rangle

A força clássica na posição ⟨R(t)⟩\langle R(t) \rangle do centro do pacote de ondas é:

Fcl=−∇U(r)∣r=⟨R⟩ F_{cl} = - \nabla U(r) \Big|_{r = \langle R \rangle}

De maneira geral, temos que:

∇U(r)∣r=⟨R⟩≠⟨∇U(R)⟩ \nabla U(r) \Big|_{r = \langle R \rangle} \neq \langle \nabla U(R) \rangle

onde ⟨∇U(R)⟩\langle \nabla U(R) \rangle é a força média sobre o pacote de ondas como um todo.

Portanto, a trajetória do centro do pacote de ondas geralmente não segue a trajetória prevista pela mecânica clássica. No entanto, se as dimensões do pacote de ondas forem muito menores do que as dimensões nas quais U(r)U(r) varia significativamente, atingimos o limite clássico.