A Evolução do Valor Médio de um Observável

Na representação de Heisenberg, temos uma equação para a evolução dos operadores:

$$ \frac{dA_H}{dt} = \left( \frac{\partial A_S}{\partial t} \right)_H + \frac{i}{\hbar} [A_H, H_H] $$

A equação correspondente na representação de Schrödinger descreve a evolução do valor médio de um observável:

$$ \frac{d}{dt} \langle \Psi_S(t) | A_S | \Psi_S(t) \rangle = \langle \Psi_S(t) | \frac{\partial A_S}{\partial t} | \Psi_S(t) \rangle + \frac{i}{\hbar} \langle \Psi_S(t) | [A_S, H_S] | \Psi_S(t) \rangle $$

Ou seja, temos:

$$ \frac{d}{dt} \langle A_S \rangle = \left\langle \frac{\partial A_S}{\partial t} \right\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle [A_S, H_S] \rangle $$

Se $A$ não depende explicitamente do tempo e $[A, H] = 0$, então o valor médio $\langle A \rangle$ é constante.

Agora, considere o Hamiltoniano:

$$ H = \frac{P^2}{2m} + U(R) $$

Então, a evolução do valor médio da posição é dada por:

$$ \frac{d}{dt} \langle R \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [R, H_S] \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [R, \frac{P^2}{2m}] \rangle = \frac{\langle P \rangle}{m} $$

Da mesma forma, a evolução do valor médio da quantidade de movimento é:

$$ \frac{d}{dt} \langle P \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [P, H_S] \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [P, U(R)] \rangle = - \langle \nabla U(R) \rangle $$

Essas duas equações expressam o Teorema de Ehrenfest.

$$ \langle R(t) \rangle $$

denota a posição do centro do pacote de ondas no tempo $t$. A questão é: a trajetória seguida pelo centro do pacote de ondas é a mesma que a prevista pelas leis da mecânica clássica?

A equação clássica para a posição é dada por:

$$ m \frac{d^2 \langle R \rangle}{dt^2} = \frac{d \langle P \rangle}{dt} = - \langle \nabla U(R) \rangle $$

A força clássica na posição $\langle R(t) \rangle$ do centro do pacote de ondas é:

$$ F_{cl} = - \nabla U(r) \Big|_{r = \langle R \rangle} $$

De maneira geral, temos que:

$$ \nabla U(r) \Big|_{r = \langle R \rangle} \neq \langle \nabla U(R) \rangle $$

onde $\langle \nabla U(R) \rangle$ é a força média sobre o pacote de ondas como um todo.

Portanto, a trajetória do centro do pacote de ondas geralmente não segue a trajetória prevista pela mecânica clássica. No entanto, se as dimensões do pacote de ondas forem muito menores do que as dimensões nas quais $U(r)$ varia significativamente, atingimos o limite clássico.