Estudo Dirigido: Métodos Computacionais para Física 3

(Eletricidade e Eletromagnetismo)

Autor: Me. Luis Vinicius Costa Silva
Data: 04 de dezembro de 2024

Campo Eletrostático de Cargas Pontuais

Considere $N$ cargas pontuais $Q_i$ localizadas em posições fixas no plano, definidas por seus vetores posição $\vec{r}_i$, com $i = 1, \dots, N$. O campo elétrico é dado pela lei de Coulomb:

$$\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^2} \hat{u}_i,$$

onde $\hat{u}_i = \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|}$ é o vetor unitário na direção de $\vec{r} - \vec{r}_i$. As componentes do campo elétrico são:

$$E_x(x, y) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i (x - x_i)}{\big[(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2\big]^{3/2}},$$ $$E_y(x, y) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i (y - y_i)}{\big[(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2\big]^{3/2}}.$$

O potencial eletrostático em $\vec{r}$ é dado por:

$$V(\vec{r}) = V(x, y) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i}{\big[(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2\big]^{1/2}}.$$

A relação entre o campo elétrico e o potencial é:

$$\vec{E}(\vec{r}) = -\nabla V(\vec{r}).$$

As linhas de campo elétrico são curvas integrais do campo vetorial $\vec{E}$, ou seja, curvas cujas tangentes em cada ponto são paralelas ao campo elétrico naquele ponto. A densidade das linhas de campo é proporcional à magnitude do campo elétrico. O fluxo elétrico $\Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot d\vec{A}$ através de uma superfície $S$ é proporcional ao número de linhas de campo que cruzam a superfície.

As linhas de campo de distribuições de cargas pontuais começam em cargas positivas (fontes), terminam em cargas negativas (sumidouros) ou se estendem até o infinito.

As superfícies equipotenciais são conjuntos de pontos no espaço onde o potencial eletrostático tem valores fixos. Essas superfícies são fechadas e perpendiculares ao campo elétrico em cada ponto. Seções planas das superfícies equipotenciais resultam em curvas equipotenciais.

A direção do campo elétrico é perpendicular às superfícies equipotenciais e aponta na direção de menor potencial. Uma variação espacial acentuada do potencial corresponde a um campo elétrico intenso.

Discretização Computacional

O computador não pode resolver problemas no contínuo; portanto, uma linha de campo deve ser discretizada em um número finito de pequenos segmentos de linha. A ideia básica é ilustrada na figura abaixo.

O campo elétrico é tangente em cada ponto de uma linha de campo elétrico e perpendicular a uma linha equipotencial. Aproximando a curva contínua por um segmento de reta $\Delta l$, temos que: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{E_y}{E_x}$

O segmento infinitesimal $\Delta l$ é tomado na direção do campo elétrico e calculado como:

$$\Delta x = \Delta l \frac{E_x}{E},$$ $$\Delta y = \Delta l \frac{E_y}{E},$$

onde $E = |\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}$.

Para calcular as linhas equipotenciais, utilizamos a propriedade de que elas são perpendiculares ao campo elétrico. Assim, se $(\Delta x, \Delta y)$ é a direção tangencial a uma linha de campo, então $(\Delta y, \Delta x)$ é a direção perpendicular, pois $(\Delta x, \Delta y) \cdot (\Delta y, \Delta x) = 0$. As equações para as linhas equipotenciais são:

$$\Delta x = \Delta l \frac{E_y}{E},$$ $$\Delta y = \Delta l \frac{E_x}{E}.$$

Algoritmo para Linhas de Campo e Equipotenciais

O algoritmo para calcular aproximadamente as linhas de campo e as linhas equipotenciais é o seguinte:

1. Escolha um ponto inicial que pertença à linha desejada.

2. Calcule o campo elétrico com base na distribuição de cargas e nas equações acima.

3. Use um passo pequeno $\Delta l$ e mova-se na direção $(\Delta x, \Delta y)$ para obter a nova posição:

   $$x \to x + \Delta x,\ y \to y + \Delta y.$$

4. Repita o procedimento até que o critério de parada seja atingido, como sair da região de interesse ou aproximar-se de uma carga além de uma distância mínima.

Estudos Sugeridos

Sugere-se os seguintes estudos:

1. Escreva um programa que calcula o campo elétrico $E(x, y)$ para uma distribuição de $N$ cargas pontuais. Use as equações fornecidas no texto;
2. Implemente um algoritmo para calcular e plotar as linhas de campo elétrico em uma região bidimensional. Escolha diferentes distribuições de cargas (e.g., dipolo elétrico, quadrupolo);
3. Desenvolva um algoritmo para traçar linhas equipotenciais. Plote as equipotenciais para um dipolo elétrico e explique os resultados obtidos;
4. Gere gráficos das linhas de campo e equipotenciais para uma única carga pontual. Analise a simetria do campo e das superfícies equipotenciais;
5. Explore o efeito da escolha do passo $\Delta l$ nos resultados das linhas de campo e equipotenciais. Avalie a precisão e a estabilidade do algoritmo para diferentes valores de $\Delta l$;
6. Discuta como o campo elétrico se comporta próximo a uma carga e no infinito. Justifique usando os gráficos gerados;
7. Explique como os erros numéricos no cálculo das linhas de campo podem influenciar os resultados. Proponha métodos para minimizar esses erros.

Material adicional

Demo no Unity pode ser acessado aqui…

Códigos-fontes disponíveis aqui