Quando confrontados com a abstração de um espaço superior, muitas vezes imaginamos algo místico ou mágico, ou talvez recordemos a atribuição do Tempo como a quarta dimensão feita por H.G. Wells. Além disso, recentemente, foram avançadas cosmologias que evocam um espaço de 10 dimensões no momento em que nosso universo começou, posteriormente pensado para ter colapsado ou se reduzido a apenas cinco ou seis dimensões.

No entanto, é dentro dos limites mais simples do espaço Euclidiano n-dimensional que podemos entender como um dodecaedro rombico é uma sombra sólida de um 4-cubo. Entre os geômetras do século XX que atacaram os problemas apresentados por esses espaços Euclidianos superiores, destaca-se Henry Scott McDonald Coxeter, Professor Emérito de Matemática na Universidade de Toronto. Sua obra clássica, Regular Polytopes, ainda está em impressão, sob a égide da Dover. Há, sem dúvida, muito de natureza muito difícil, impenetrável para leitura casual, neste grande livro. No entanto, ele é uma joia maravilhosa e um tremendo feito. Buckminster Fuller idolatrava o Professor Coxeter, declarando: “Ele completou o trabalho que Euclides começou.” Não é algo comum fazer uma contribuição substancial para a cultura humana; Coxeter fez exatamente isso.

Agora, polítopo é uma generalização dos termos polígono e poliedro. Um polígono é um 2-polítopo, e um poliedro, um 3-polítopo. Muitas das propriedades dos polítopos podem ser deduzidas por analogia; na verdade, não é necessário ser um matemático treinado para explorar o espaço superior e, de fato, contribuições importantes para o assunto foram feitas por amadores. Um único ponto é um polítopo de zero dimensão; um segmento de linha é “limitado por” dois pontos, em ambas as extremidades; um polígono é limitado por segmentos de linha; um poliedro é limitado por polígonos; e um 4-polítopo é limitado por poliedros. Por analogia, o polítopo geral n-dimensional é limitado por polítopos de (n-1) dimensões.

Algumas coisas, no entanto, não se generalizam para espaços superiores. Por exemplo, podemos obter uma infinidade de polígonos convexos regulares em duas dimensões, mas existem apenas cinco poliedros convexos regulares (os sólidos platônicos) em três dimensões. Curiosamente, seis polítopos convexos regulares existem em quatro dimensões, mas, em cinco espaços e em todos os espaços superiores, apenas três polítopos regulares podem existir. Estes existem em todos os espaços n, e são conhecidos como o simplex, o polítopo cruzado e o polítopo de medida. Este último é geralmente referido como um hipercubo, e o termo especial “polítopo de medida” é dado aos hipercubos de comprimento de aresta unitário, pois eles fornecem a medida do conteúdo n-dimensional. Ou seja, com o quadrado unitário medimos a área da superfície, com o cubo unitário medimos o volume, e assim por diante.

O espaço não permite uma descrição detalhada desses três polítopos regulares universais. O simplex é o “polítopo” mais simples que pode existir em um espaço, ou seja, de todos os polígonos, o mais simples é o triângulo, de todos os poliedros, o mais simples é o tetraedro. Podemos “coordenarizar” o espaço de n dimensões, utilizando um sistema de eixos cartesianos, assim como usamos as coordenadas x, y e z para especificar cada ponto em três dimensões. Se “paramos” o sistema cartesiano em distâncias unitárias a partir da origem, obtemos o que é chamado de “cruz”. Os pontos finais de uma cruz são os vértices de um polítopo cruzado; em duas dimensões, isso é um quadrado, em três, o octaedro platônico.

O terceiro polítopo universal, o hipercubo, é o que se relaciona mais diretamente com o dodecaedro rombico de Mark. Este dodecaedro é provavelmente melhor referido como o dodecaedro rombico de Kepler, sendo formalmente descrito por Johannes Kepler, embora exista na natureza como uma forma cristalina, e as células do favo de mel também sejam dodecaedros rombicos deste tipo. Uma infinidade de outros dodecaedros rombicos existem. De fato, muitos deles também podem ser sombras sólidas de 4-cubos, assim como o de Kepler. Mas vamos por partes.

Uma projeção ortogonal, às vezes também chamada de projeção paralela, é comumente considerada como o processo de lançar perpendiculares de um poliedro, por exemplo, sobre um plano. Os “projetores” são linhas paralelas que caem sobre o plano em ângulos retos. Em termos de coordenadas cartesianas, tal projeção é facilmente obtida: considere os vértices de um poliedro, cada um definido por um triplo de números reais, {x, y, z}. Obtivemos as projeções ortogonais nos planos de coordenadas simplesmente descartando uma das três coordenadas de cada vértice: ao remover todas as coordenadas z, projetamos no plano xy, ao remover todas as coordenadas y, projetamos no plano xz, e assim por diante.

Ao contrário de uma projeção perspectiva, que introduz pontos de fuga, uma projeção ortogonal envia linhas paralelas em linhas paralelas. É importante reconhecer que, com ou sem perspectiva, ocorre o encurtamento; a menos que, por exemplo, uma face poligonal seja paralela ao plano de projeção, ela será comprimida de forma variável na projeção. Se soubermos quais vértices se conectam para formar os polígonos que delimitam um poliedro, então basta conectar suas imagens projetadas para formar o que é chamado de “projeção em malha”. Quando um poliedro convexo finito é projetado dessa forma, algum tipo de polígono convexo forma o perímetro da projeção; isso, com seu interior, é o que chamamos de “sombra ortogonal” do poliedro.

Agora, esses meios de formar projeções ortogonais e sombras se generalizam para todos os espaços superiores; e, portanto, podemos obter “sombras sólidas” de 4-polítopos em particular, e n-polítopos em geral. O dodecaedro rombico de Kepler é justamente isso: uma sombra sólida de um 4-cubo. Para tornar isso mais inteligível, imagine um cubo flutuando acima de um plano, com luz vindo de uma distância infinita acima do plano: o cubo projeta uma sombra poligonal. À medida que giramos o cubo em seu espaço tridimensional, a sombra ortogonal no plano muda continuamente. Se medirmos sua área da superfície enquanto ela muda por todas as formas possíveis, descobriremos que sua sombra quadrada tem a menor área, sua sombra de hexágono regular, a maior área.

Por analogia, à medida que giramos um 4-cubo em seu espaço de 4 dimensões, sua sombra sólida, um poliedro, muda continuamente em nosso espaço tridimensional. Agora, um n-cubo é limitado por (n-1)-cubos, da mesma forma que um cubo regular é limitado por faces quadradas. Um 4-cubo é limitado por apenas oito 3-cubos. Retornando novamente para projetar um cubo sobre um plano, vemos facilmente que todas as seis faces do cubo se coincidem, quando o cubo é projetado em um quadrado. Da mesma forma, todos os oito cubos do 4-cubo se coincidem, quando ele é projetado em um cubo. Esta é uma das quatro sombras mais simétricas do 4-cubo, obtida quando o espaço de projeção de 3 dimensões está em ângulo reto com uma linha que conecta os centros dos cubos opostos que limitam o 4-cubo. É chamada de projeção “primeiro célula”, já que os (n-1)-polítopos que limitam um n-polítopo são chamados de “células”. De todas as sombras poliedrais do 4-cubo, esta tem o menor volume.

Agora, para completar a analogia entre as sombras de plano de um cubo e as sombras de poliedros de um 4-cubo, é possível escolher um espaço de 3 dimensões de projeção tal que ele esteja em ângulo reto com uma linha que conecta vértices opostos do 4-cubo. Obtemos então a sombra de maior volume, o dodecaedro rombico de Kepler. A característica distintiva dessa projeção é que ela é isométrica; as arestas do hipercubo são igualmente encurtadas sob projeção ortogonal. Assim, também, os oito cubos que limitam o hipercubo são igualmente encurtados, em oito hexaedros rombicos que se interpenetram para compor o dodecaedro rombico. Por comparação, observe como a projeção isométrica de um cubo sobre um plano envia as seis faces quadradas do cubo para seis rombos iguais de 120 graus, que se sobrepõem.

Por fim, vale a pena notar que os hipercubos preenchem o espaço, assim como podemos preencher o plano com quadrados iguais (cada um compartilhando segmentos de linha com quadrados adjacentes), ou preencher o espaço tridimensional com cubos iguais (cada um compartilhando faces quadradas com cubos adjacentes). Em quatro dimensões, o preenchimento do espaço com hipercubos, por analogia, significa que cada hipercubo compartilha seus cubos com hipercubos adjacentes. Suponha que projetemos todo o preenchimento do espaço de 4-cubos para 3 dimensões e escolhemos o espaço de projeção de 3 dimensões tal que ele esteja em ângulo reto com uma linha que conecta vértices opostos de qualquer um dos 4-cubos. Obtemos um preenchimento de espaço de dodecaedros rombicos interpenetrantes, cada um compartilhando seus hexaedros rombicos com dodecaedros “adjacentes”.