Derivadas

Considere uma função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Fixe um ponto $x_0$ e escreva $y_0 = f(x_0)$. Para $x$ próximo de $x_0$, definimos $$ \Delta x = x - x_0, \quad \Delta y = f(x) - f(x_0). $$ A derivada de $f$ em $x_0$ é definida por $$ f’(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $$ Para $\Delta x$ pequeno, tem-se a aproximação $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f’(x_0), $$ o que implica $$ \Delta y \approx f’(x_0)\Delta x. $$ ...

Introdução O cálculo se organiza em torno de dois conceitos principais: derivadas e integrais. A derivada descreve como uma quantidade varia em relação a outra, enquanto a integral pode ser vista tanto como o processo inverso da derivação quanto como um limite de somas. Para ilustrar, considere um objeto em movimento cuja velocidade é conhecida ao longo do tempo. A distância percorrida pode ser aproximada dividindo o intervalo de tempo em partes menores e somando, em cada parte, o produto da velocidade pelo tempo correspondente. À medida que essas partes se tornam menores, essa soma se aproxima de um valor limite, que é a integral. ...

Introdução Considere duas quantidades físicas relacionadas por uma função $$ x = f(t). $$ Taxas de variação descrevem como mudanças em $t$ afetam $x$. A taxa média de variação entre dois valores $t_0$ e $t_1$ é dada por $$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1 - t_0}. $$ Para funções lineares, essa quantidade é constante. Para funções não lineares, ela depende da escolha de $t_0$ e $t_1$. O objetivo é obter uma quantidade que dependa apenas de um ponto. Isso leva à noção de taxa instantânea de variação. ...

Há um tipo de problema em cálculo que aparece repetidamente: situações do mundo real onde queremos fazer algo da melhor forma possível. Minimizar custo, maximizar área, otimizar eficiência. Esses são os chamados problemas de máximo e mínimo. A ideia geral é simples, embora a execução às vezes exija algum cuidado. O método geral Em um problema típico: Traduzimos a situação para equações Eliminamos variáveis desnecessárias Obtemos uma função de uma variável Encontramos onde essa função atinge máximo ou mínimo Na prática, isso quase sempre significa: ...