Convolução

Há um certo prazer em perceber que um objeto complicado, quando observado sob a lente correta, revela uma estrutura surpreendentemente simples. Recentemente, estive pensando a respeito de combinações lineares de variáveis qui-quadrado e gamma. À primeira vista, trata-se de um problema que parece condenado à complexidade: somas de variáveis gamma independentes, em geral, não admitem formas fechadas elegantes. Em vez disso, somos conduzidos a convoluções, funções especiais e expressões que existem mais no papel do que na prática. ...

Introdução Considere uma cadeia de decaimento radioativo: $$ X_1 \rightarrow X_2 \rightarrow \cdots \rightarrow X_n $$ Cada núcleo $X_j$ decai com constante de decaimento $\lambda_j$, e uma fração $b_j$ gera o próximo elemento da cadeia. Definimos $N_j(t)$ como a quantidade de $X_j$ no tempo $t$, produzida ao longo da cadeia. O sistema é descrito por: $$ \frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1 $$ $$ \frac{dN_j}{dt} = b_{j-1}\lambda_{j-1}N_{j-1} - \lambda_j N_j, \quad j \ge 2 $$ ...