Cálculo

Considere uma função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Fixe um ponto $x_0$ e escreva $y_0 = f(x_0)$. Para $x$ próximo de $x_0$, definimos $$ \Delta x = x - x_0, \quad \Delta y = f(x) - f(x_0). $$ A derivada de $f$ em $x_0$ é definida por $$ f’(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $$ Para $\Delta x$ pequeno, tem-se a aproximação $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f’(x_0), $$ o que implica $$ \Delta y \approx f’(x_0)\Delta x. $$ ...

Introdução O cálculo se organiza em torno de dois conceitos principais: derivadas e integrais. A derivada descreve como uma quantidade varia em relação a outra, enquanto a integral pode ser vista tanto como o processo inverso da derivação quanto como um limite de somas. Para ilustrar, considere um objeto em movimento cuja velocidade é conhecida ao longo do tempo. A distância percorrida pode ser aproximada dividindo o intervalo de tempo em partes menores e somando, em cada parte, o produto da velocidade pelo tempo correspondente. À medida que essas partes se tornam menores, essa soma se aproxima de um valor limite, que é a integral. ...

Introdução Considere duas quantidades físicas relacionadas por uma função $$ x = f(t). $$ Taxas de variação descrevem como mudanças em $t$ afetam $x$. A taxa média de variação entre dois valores $t_0$ e $t_1$ é dada por $$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1 - t_0}. $$ Para funções lineares, essa quantidade é constante. Para funções não lineares, ela depende da escolha de $t_0$ e $t_1$. O objetivo é obter uma quantidade que dependa apenas de um ponto. Isso leva à noção de taxa instantânea de variação. ...

Há um tipo de problema em cálculo que aparece repetidamente: situações do mundo real onde queremos fazer algo da melhor forma possível. Minimizar custo, maximizar área, otimizar eficiência. Esses são os chamados problemas de máximo e mínimo. A ideia geral é simples, embora a execução às vezes exija algum cuidado. O método geral Em um problema típico: Traduzimos a situação para equações Eliminamos variáveis desnecessárias Obtemos uma função de uma variável Encontramos onde essa função atinge máximo ou mínimo Na prática, isso quase sempre significa: ...

Introdução Nesta postagem, vamos falar sobre truques matemáticos aplicados à otimização de cálculos em 3D. Embora seja um dos tópicos mais importantes, é também um dos mais difíceis de explicar, pois não existe um único método de otimização padrão para problemas matemáticos que sempre forneça bons resultados. Vamos focar em um exemplo simples utilizando vetores 3D. O Problema das Rotação de Pontos em 3D Quando você rotaciona um ponto ao redor de um eixo, a fórmula básica para as novas coordenadas $x$, $y$ e $z$ do ponto após a rotação é a seguinte: ...

Resumo de Cálculo de Probabilidade Regras e Notas Sempre Verdadeiro: Pr(~A) = 1 – Pr(A) A probabilidade do evento complementar (A) é igual a 1 menos a probabilidade de (A). Pr(espaco amostral inteiro) = 1 A probabilidade do espaço amostral inteiro é 1. Pr(A ou B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A e B) Subtraia qualquer contagem dupla de (A \cap B). Se A e B são Independentes: Pr(A e B) = Pr(A)Pr(B) Definição precisa de “independência”. ...