Vamos Fazer um Acordo
Este é um exemplo de um problema que confunde muitas pessoas (inclusive eu) e como analisá-lo corretamente. Esperamos que este exemplo ilustre alguns métodos gerais de análise que você pode usar para navegar por questões mais gerais e confusas. Em particular, os métodos usados aqui aplicam-se à renormalização de estados quânticos emaranhados quando uma medição de um valor é feita.
Você está no programa de TV Let’s Make a Deal. Existem 3 portas. Escondido atrás de duas delas estão cabras; atrás da outra está o Grande Prêmio. Você escolhe a porta #1. Monty Hall, o apresentador, sabe o que está atrás de cada porta. Ele abre a porta #2 e mostra uma cabra. Agora ele pergunta: você quer continuar com sua escolha ou mudar para a porta #3? Você deve mudar?
Resposta
Sem perda de generalidade (WLOG), supomos que você escolheu a porta #1 (e, claro, não importa qual porta você escolha). Você sabe de antemão que, não importa o que aconteça, Monty sempre vai mostrar uma cabra atrás de uma das portas que você não escolheu. Para questões simples como esta, você pode fazer um gráfico exaustivo de todos os eventos mutuamente exclusivos e suas probabilidades:
| Evento | Probabilidade |
|---|---|
| Bgg (porta 2 mostra cabra) | 1/6 |
| 1/6 | |
| gBg (porta 3 mostra cabra) | 1/3 |
| ggB (porta 2 mostra cabra) | 1/3 |
Após a sua escolha, Monty mostra que a porta #2 tem uma cabra. Agora, da população de possibilidades, descartamos aquelas que não são mais possíveis (ou seja, onde ele mostra a porta #3, e aquelas onde o grande prêmio está atrás da porta #2), e renormalizamos as probabilidades restantes:
| Evento | Probabilidade | Renormalizado |
|---|---|---|
| Bgg (porta 2 mostra cabra) | 1/6 | 1/3 |
| 1/6 | 1/3 | |
| gBg (porta 3 mostra cabra) | 1/3 | 2/3 |
Uma outra maneira de pensar sobre isso: Monty te mostrando a porta #2 equivale a dizer: “O grande prêmio está atrás da porta que você escolheu, ou está na porta #3.” Como sua chance de ter acertado na primeira escolha (1/3) não é afetada por Monty te contar isso, a probabilidade de o grande prêmio estar na porta #3 é 2/3. Monty usa seu conhecimento para sempre escolher uma porta com uma cabra, o que te dá mais informações e melhora sua capacidade de adivinhar corretamente na sua segunda tentativa.
Você também pode ver isso da seguinte maneira: Existe 1/3 de chance de você ter acertado na primeira vez. Se você mudar, perderá. Mas existe 2/3 de chance de você ter errado na primeira vez. Se mudar, ganhará. Portanto, ao mudar, você vence duas vezes mais do que perde, o que dá uma chance muito melhor do que 1/3 de ganhar.
Agora, vamos pegar um exemplo mais extremo: suponha que existam 100 portas e você escolha a porta #1. Agora, Monty te diz: “O grande prêmio está atrás da porta que você escolheu, ou está na porta #57.” Você deve mudar? Claro. A chance de você ter acertado é mínima, mas Monty sabe com certeza.