Introdução
Nesta postagem, vamos falar sobre truques matemáticos aplicados à otimização de cálculos em 3D. Embora seja um dos tópicos mais importantes, é também um dos mais difíceis de explicar, pois não existe um único método de otimização padrão para problemas matemáticos que sempre forneça bons resultados. Vamos focar em um exemplo simples utilizando vetores 3D.
O Problema das Rotação de Pontos em 3D
Quando você rotaciona um ponto ao redor de um eixo, a fórmula básica para as novas coordenadas $x$, $y$ e $z$ do ponto após a rotação é a seguinte:
$$ x^{’} = x \cdot \cos(\theta) + y \cdot sin(\theta) $$
$$ y^{’} = x \sin(θ) - y \cos(θ) $$
$$ z^{’} = z $$
Onde $\theta$ é o ângulo de rotação. Ou seja, para uma rotação ao redor de um eixo, você precisaria de 4 multiplicações (MULs). Agora, se você tiver que realizar 3 rotações em torno de 3 eixos diferentes, isso resulta em 12 multiplicações! Isso pode parecer ineficiente, certo?
Otimizando a Rotação com Matrizes 3D
Se você for um programador esperto, pode otimizar esse processo. A solução está em desenvolver fórmulas para os coeficientes das rotações e, assim, reduzir o número de multiplicações. A fórmula final se parecerá com algo assim:
$$ x^{’} = x \cdot x_{vx} + y \cdot x_{vy} + z \cdot x_{vz} + x_{v0} $$
$$ y^{’} = x \cdot y_{vx} + y \cdot y_{vy} + z \cdot y_{vz} + y_{v0} $$
$$ z^{’} = x \cdot z_{vx} + y \cdot z_{vy} + z \cdot z_{vz} + z_{v0} $$
Aqui, $x$ , $y$ , e $z$ são as coordenadas do ponto após as rotações, e $x_{vx}$, $y_{vx}$, $z_{vx}$, entre outros, são coeficientes que dependem dos ângulos de rotação.
Como Funciona a Otimização?
Esses coeficientes são calculados no início do seu código de rotação. Uma vez calculados, você só precisa realizar 9 multiplicações para calcular as novas coordenadas para cada ponto, ao invés de 12 multiplicações. Isso é chamado de método de matriz 3D para rotação de pontos . Não se preocupe! Você não precisa entender profundamente as matrizes para usar esse método.
Além disso, outra vantagem desse método é que se você decidir realizar mais rotações ou modificar a abordagem, suas fórmulas permanecem as mesmas — apenas os coeficientes mudam. Isso oferece flexibilidade sem perder a eficiência.
O Cálculo dos Coeficientes
Agora, surge o desafio de calcular esses coeficientes. Cada um deles é uma soma de produtos de senos e cossenos dos diferentes ângulos de rotação. Por exemplo, um dos coeficientes pode ser calculado como:
$$ y_{vy} = sin(a) \cdot cos(b) \cdot sin(c) - cos(a) \cdot cos(c) $$
Esses coeficientes podem ser bem complexos, mas existe uma maneira de otimizar ainda mais esses cálculos.
Linearização Matemática
Para eliminar as multiplicações (MULs), você pode utilizar uma técnica chamada linearização . Um exemplo disso é a seguinte fórmula:
$$ cos(a) \cdot cos(b) = (cos(a+b) + cos(a-b)) / 2 $$
Utilizando essas identidades, você pode reescrever os coeficientes como somas de senos e cossenos, eliminando muitas das multiplicações no processo.
Conclusão: Aumentando a Performance do Código
Existem milhares de truques matemáticos que podem ser aplicados para otimizar cálculos em 3D, mas o essencial é ser criativo e usar essas técnicas para melhorar o desempenho do seu código. Um bom programador pode aumentar a velocidade do código em até 50% usando esses truques. Se você souber de outros truques matemáticos, compartilhe! Afinal, a matemática e a programação sempre têm algo novo para aprender.