O Teorema da Unicidade

Ao resolver problemas eletrostáticos, frequentemente nos baseamos no Teorema da Unicidade.

Suponha que você tenha um volume $V$, limitado por uma coleção de superfícies. Suponha que você saiba a densidade de carga $\rho(r)$ em todo o volume $V$ e, nas superfícies do volume, você conhece: (a) o potencial $\Phi$ (condições de contorno de Dirichlet), (b) $E \cdot n$, ou seja, as derivadas normais do potencial (condições de contorno de Neumann), (c) a superfície é um condutor que carrega uma carga total $Q$.

Então, a solução $\Phi(r)$ dentro de $V$ é única, exceto por uma constante arbitrária $C$ que fixa $\Phi(r)$ em um ponto.

Demonstração

Suponha que duas soluções para $\Phi$ existam, que satisfaçam as mesmas condições de contorno:

$$ \nabla^2 \Phi_1 = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla^2 \Phi_2 = -\frac{\rho}{\epsilon_0}. $$

Seja $U = \Phi_1 - \Phi_2$, então:

$$ \nabla^2 U = 0 \quad \text{dentro de} , V. $$

Para as condições de contorno de Dirichlet, temos $U = 0$ nas superfícies.
Para as condições de contorno de Neumann, temos $\frac{\partial U}{\partial n} = 0$ nas superfícies.
Para um condutor com carga total $Q$, temos que:

$$ \Phi_1 = \text{constante}, \quad \Phi_2 = \text{constante} \quad \Rightarrow \quad U , \text{é constante na superfície}, $$

$$ \oint_S \frac{\partial U}{\partial n} dS = 0, $$

pois:

$$ \oint_S \frac{\partial \Phi_1}{\partial n} dS = \oint_S \frac{\partial \Phi_2}{\partial n} dS = -\oint_S E \cdot n , dS = -\frac{Q_{\text{inside}}}{\epsilon_0}. $$

Agora, aplique a primeira identidade de Green com $\Phi = \psi = U$:

$$ \int_V \left( U \nabla^2 U + \nabla U \cdot \nabla U \right) dV = \oint_S U \left( \frac{\partial U}{\partial n} \right) dS. $$

Como $\nabla^2 U = 0$, temos:

$$ \int_V |\nabla U|^2 dV = \oint_S U \left( \frac{\partial U}{\partial n} \right) dS. $$

Para todas as condições de contorno, o lado direito dessa equação é zero. Logo, temos:

$$ \int_V |\nabla U|^2 dV = 0. $$

Como $|\nabla U|^2$ é não-negativo em toda parte, isso implica que $\nabla U = 0$ em todo o volume $V$ e que $U$ é constante. Assim, $\Phi_1$ e $\Phi_2$ diferem no máximo por uma constante.

Usando qualquer técnica, se encontrarmos uma solução $\Phi(r)$ dentro de $V$ que satisfaça as condições de contorno (fixando em um ponto), encontramos a única solução.

Primeira Identidade de Green

A primeira identidade de Green é dada por:

$$ \int_V \left( \Phi \nabla^2 \psi + \nabla \Phi \cdot \nabla \psi \right) dV = \oint_S \Phi \left( \frac{\partial \psi}{\partial n} \right) dS, $$

e é derivada a partir do teorema de Green:

$$ \int_V \nabla \cdot A , dV = \oint_S A \cdot n , dS. $$

Definindo $A = \Phi \nabla \psi$, com $\Phi$ e $\psi$ sendo campos escalares arbitrários, temos:

$$ \nabla \cdot A = \nabla \cdot (\Phi \nabla \psi) = \Phi \nabla^2 \psi + \nabla \Phi \cdot \nabla \psi, $$

$$ A \cdot n = \Phi \nabla \psi \cdot n = \Phi \left( \frac{\partial \psi}{\partial n} \right). $$