Introdução
Considere duas quantidades físicas relacionadas por uma função
$$ x = f(t). $$
Taxas de variação descrevem como mudanças em $t$ afetam $x$. A taxa média de variação entre dois valores $t_0$ e $t_1$ é dada por
$$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1 - t_0}. $$
Para funções lineares, essa quantidade é constante. Para funções não lineares, ela depende da escolha de $t_0$ e $t_1$.
O objetivo é obter uma quantidade que dependa apenas de um ponto. Isso leva à noção de taxa instantânea de variação.
Exemplo
Considere o movimento de uma bicicleta ao longo de uma estrada. Defina
- $t$: tempo em horas
- $x$: distância em quilômetros
Suponha que
$$ x = t^2. $$
Fixe um valor inicial
$$ t_0 = 2. $$
Então
$$ x_0 = f(t_0) = 2^2 = 4. $$
Escolha um valor próximo $t_1$. Por exemplo,
$$ t_1 = 2.1. $$
Então
$$ x_1 = f(t_1) = (2.1)^2 = 4.41. $$
Taxa média de variação
Definimos
$$ \Delta t = t_1 - t_0, \quad \Delta x = f(t_1) - f(t_0). $$
Logo,
$$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{t_1^2 - 4}{t_1 - 2}. $$
Para $t_1 = 2.1$,
$$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4.41 - 4}{0.1} = 4.1. $$
Para $t_1 = 3$,
$$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{9 - 4}{1} = 5. $$
A taxa média depende do valor final escolhido.
Passagem ao limite
Queremos entender o comportamento dessa razão quando $t_1$ se aproxima de $t_0 = 2$. Para isso, manipulamos a expressão:
$$ \frac{t_1^2 - 4}{t_1 - 2} = \frac{(t_1 - 2)(t_1 + 2)}{t_1 - 2}. $$
Cancelando o fator comum,
$$ \frac{\Delta x}{\Delta t} = t_1 + 2. $$
Agora é possível avaliar o comportamento quando $t_1 \to 2$:
$$ t_1 + 2 \to 4. $$
Derivada
Esse valor é chamado de taxa instantânea de variação ou derivada no ponto $t_0 = 2$:
$$ \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=2} = 4. $$
Também se pode escrever
$$ \Delta x \approx 4 , \Delta t $$
quando $\Delta t$ é pequeno.
Interpretação geométrica
A taxa média de variação corresponde à inclinação da reta secante que liga dois pontos do gráfico. Quando $t_1$ se aproxima de $t_0$, essa reta se aproxima da reta tangente.
A derivada é a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto considerado.
Definição geral
A derivada de $f$ no ponto $a$ é definida por
$$ f’(a) = \lim_{t \to a} \frac{f(t) - f(a)}{t - a}. $$
Cálculo geral
Considere novamente
$$ f(t) = t^2. $$
Aplicando a definição,
$$ f’(a) = \lim_{t \to a} \frac{t^2 - a^2}{t - a}. $$
Fatorando,
$$ \frac{t^2 - a^2}{t - a} = \frac{(t - a)(t + a)}{t - a}. $$
Cancelando,
$$ f’(a) = \lim_{t \to a} (t + a). $$
Logo,
$$ f’(a) = 2a. $$
Substituindo $a$ por $t$,
$$ \frac{dx}{dt} = 2t. $$
Exemplo numérico
Se $t = 3$, então
$$ \frac{dx}{dt} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ km/h}. $$
Observação final
A derivada é obtida como limite de taxas médias de variação e fornece uma descrição local da variação da função. Ela também corresponde à inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto considerado.