Introdução ao Eletromagnetismo Relativístico
Na eletrodinâmica relativística, descrevemos fenômenos físicos utilizando 4-vetores e tensores. A transformação de Lorentz desempenha um papel crucial para entender como essas grandezas se transformam entre sistemas de referência inerciais. A seguir, exploramos os conceitos fundamentais de 4-vetores contravariantes e covariantes, transformações de tensores e invariantes do campo eletromagnético.
4-Vetores Contravariantes e Covariantes
Um 4-vetor contravariante é um conjunto de quatro grandezas que se transformam sob uma transformação de Lorentz como $$ (ct, \mathbf{r}) = (x_0, x_1, x_2, x_3) $$. O 4-vetor $$ (A_0, A_1, A_2, A_3) $$ é um 4-vetor contravariante se satisfizer a relação de transformação: $$ A’\alpha = \frac{\partial x’\alpha}{\partial x_\beta} A_\beta, onde o índice \beta $$ é somado.
Por outro lado, um 4-vetor covariante é um conjunto de quatro grandezas que se transforma sob uma transformação de Lorentz como $$ (ct, -\mathbf{r}) = (x_0, x_1, x_2, x_3) $$. O 4-vetor $$ (A_0, A_1, A_2, A_3) $$ é um 4-vetor covariante se satisfizer a relação de transformação: $$ A’\alpha = \frac{\partial x\beta}{\partial x’\alpha} A\beta.$$
Quando o sistema de coordenadas primado se move com uma velocidade $$ v = \beta c $$ em relação ao sistema não primado, temos a transformação dos 4-vetores contravariantes descrita por: $$ \beta = \frac{v}{c}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}. $$
Tensores de Segunda Ordem
Um tensor contravariante de segunda ordem é um conjunto de 16 quantidades que se transforma sob uma transformação de Lorentz de acordo com: $$ F’{\alpha \beta} = \frac{\partial x’\alpha}{\partial x_\gamma} \frac{\partial x’\beta}{\partial x\delta} F_{\gamma \delta}. $$ Já um tensor covariante de segunda ordem transforma de acordo com: $$ G’{\alpha \beta} = \frac{\partial x\gamma}{\partial x’\alpha} \frac{\partial x\delta}{\partial x’\beta} G{\gamma \delta}. $$ E um tensor misto se transforma segundo a regra: $$ H’{\alpha \beta} = \frac{\partial x’\alpha}{\partial x_\gamma} \frac{\partial x’\beta}{\partial x\delta} H_{\gamma \delta}. $$
Tensores Especiais
O delta de Kronecker $$ \delta_{\alpha \beta} = \frac{\partial x_\alpha}{\partial x_\beta} $$ é estendido a 4 índices. O tensor métrico $$ g_{\alpha \beta} $$ é fundamental para definir o produto interno entre 4-vetores. O produto interno entre dois 4-vetores contravariantes é dado por: $$ A \cdot B = g_{\alpha \beta} A^\alpha B^\beta = A^\beta B_\beta = A_\alpha B^\alpha, $$ que é um escalar de Lorentz invariável.
Invariantes do Campo Eletromagnético
Os invariantes fundamentais do campo eletromagnético incluem: $$ E^2 - c^2 B^2 \quad \text{e} \quad (E \cdot B)^2, $$ que são invariantes sob transformações de Lorentz.
Além disso, o tensor de força do campo $$ F_{\alpha \beta} $$, que é antissimétrico, é definido por: $$ F_{\alpha \beta} = \frac{\partial A_\beta}{\partial x_\alpha} - \frac{\partial A_\alpha}{\partial x_\beta}. $$ A transformação do campo eletromagnético pode ser descrita por: $$ \mathbf{E’}{\parallel} = \mathbf{E}{\parallel}, \quad \mathbf{B’}{\parallel} = \mathbf{B}{\parallel}, $$ $$ \mathbf{E’}{\perp} = \gamma (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}){\perp}, \quad \mathbf{B’}{\perp} = \gamma \left( \mathbf{B} - \frac{\mathbf{v}}{c^2} \times \mathbf{E} \right){\perp}. $$ Esses invariantes e transformações são essenciais para a compreensão da eletrodinâmica relativística e mostram como os campos elétrico e magnético se comportam sob transformações de Lorentz, mantendo sua consistência física entre diferentes referenciais inerciais.