Radiação Eletromagnética

Radiação Produzida por Cargas em Movimento

Na gauge de Lorentz, os potenciais $A$ e $\Phi$ satisfazem a equação de onda inhomogênea:

$ \nabla^2\Phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla^2 A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 A}{\partial t^2} = -\mu_0 j. $

As soluções são:

$ \Phi(r,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int v’ dV’ \frac{\rho(r’, t_r)}{|r - r’|}, $ $ A(r,t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int v’ dV’ \frac{j(r’, t_r)}{|r - r’|}. $

Aqui, $t_r = t - \frac{|r - r’|}{c}$ é o tempo retardado. Para uma carga pontual movendo-se de maneira arbitrária, obtemos os potenciais de Lienard-Wiechert:

$$ \Phi(r,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(1 - \beta \cdot n)|r - r’|} |_{ret}, $$

$$ A(r,t) = \frac{\mu_0 c}{4\pi} \frac{q \beta}{(1 - \beta \cdot n)|r - r’|} |_{ret}. $$

Onde $r’$ é a posição da carga no tempo retardado, e $n|r - r’|$ é o vetor que aponta da posição da carga para o observador em $r$. Os potenciais de uma carga pontual dependem apenas da posição e da velocidade no tempo retardado. Os campos $\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$ dependem também da aceleração.

Campo Elétrico Produzido por uma Carga Pontual

O campo elétrico produzido por uma carga pontual $q$ que se move de maneira arbitrária no local do observador é dado por:

$ \mathbf{E}(t) = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{r’}{r’^3} + \frac{r’}{c} \frac{d}{dt} \left( \frac{r’}{r’^3} \right) + \frac{1}{c^2} \frac{d^2}{dt^2} \left( \frac{r’}{r’} \right) \right]. $

Aqui, $r’$ é a posição da carga no tempo retardado $(t - \frac{r’}{c})$; $r’$ aponta do observador até a carga. $[\frac{r’}{r’}]$ é o vetor unitário.

O campo elétrico é composto por três partes: $E_1$, $E_2$ e $E_3$. O campo $E_1$ é o campo de Coulomb retardado, $E_2$ é o termo devido à variação temporal do campo de Coulomb, e $E_3$ é o campo de radiação.

Para uma carga pontual movendo-se de maneira não-relativística, temos o campo de radiação:

$ E_3 = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2 r’} \mathbf{a}_\perp(t - \frac{r’}{c}). $

Se o observador não está localizado na origem, mas na posição $r$, o campo de radiação $\mathbf{E}(r,t)$ de uma carga pontual movendo-se de forma não-relativística é dado por:

$ \mathbf{E}(r,t) = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2 r’’} \mathbf{a}_\perp(t - \frac{r’’}{c}), $ onde $ r’’ = r - r’(t - \frac{|r - r’|}{c}), $ ou seja, o vetor do observador até a carga no tempo retardado.

Fluxo de Energia

O fluxo de energia associado aos campos de uma carga pontual é calculado a partir do vetor de Poynting $S$. A potência total irradiada por uma carga pontual movendo-se de maneira não-relativística é dada por:

$ P = \oint A S \cdot dA = \frac{2}{3} \frac{e^2 a^2}{c^3}, $

onde $e^2 = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}$, e esta é a fórmula de Larmor.

Radiação de Dipolo (Não-relativística)

O campo de radiação de um dipolo elétrico oscilante com $p = p_0 \cos(\omega t)$ é dado por:

$$ E_R(r,t) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2 r’’} \frac{d^2 p_\perp \left( t - \frac{r’’}{c} \right)}{dt^2}. $$

Um dipolo elétrico irradia energia a uma taxa $P_{rad} = \frac{1}{6\pi\epsilon_0 c^3} \left( \frac{d^2p}{dt^2} \right)^2$.

Para um dipolo oscilante, a potência total irradiada média é:

$$ \langle P \rangle = \frac{\omega^4 p_0^2}{12 \pi \epsilon_0 c^3}. $$

Um dipolo magnético irradia energia a uma taxa:

$$ P_{rad} = \frac{1}{6 \pi \epsilon_0 c^5} \left( \frac{d^2 m}{dt^2} \right)^2. $$