A Partícula Livre

Soluções de Partícula Livre para a Equação de Schrödinger

Uma partícula livre não está sujeita a forças, e sua energia potencial é constante. Definimos $U(r,t) = 0$, já que a origem da energia potencial pode ser escolhida arbitrariamente. A equação de Schrödinger então se torna:

$$ i \hbar \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi(r,t) $$

Ondas planas $ \Psi(r,t) = A \exp(i(k \cdot r - \omega t)) $ são soluções possíveis, desde que a relação

$$ \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$

seja satisfeita.

Temos as seguintes derivadas:

$$ \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t} = -i \omega \Psi(r,t) $$

$$ \nabla \Psi(r,t) = i k \Psi(r,t) $$

$$ \nabla^2 \Psi(r,t) = -k^2 \Psi(r,t) $$

E a relação para a energia:

$$ \hbar \omega \Psi(r,t) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \Psi(r,t) $$

Ou, de forma equivalente,

$$ E = \frac{p^2}{2m} $$

Usando as relações de de Broglie:

$$ \lambda = \frac{h}{p}, \quad f = \frac{E}{h} $$

Uma onda plana representa uma partícula cuja probabilidade de presença é constante em todo o espaço:

$$ |\Psi(r,t)|^2 = |A|^2 = \text{constante} $$

No entanto, uma onda plana não é integrável ao quadrado, ou seja, não é uma solução adequada. A equação de Schrödinger é linear, e o princípio da superposição se aplica. Uma combinação linear de soluções de ondas planas também é uma solução.

Assim, temos:

$$ \Psi(r,t) = \sum_k a_k \exp(i(k \cdot r - \omega_k t)) $$

Desde que para cada $k$ a relação

$$ \hbar \omega_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$

seja válida. Como $k$ é uma variável contínua, a solução mais geral não é uma soma, mas uma integral:

$$ \Psi(r,t) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int g(k) \exp(i(k \cdot r - \omega_k t)) , d^3k $$

Onde $d^3k = dk_x dk_y dk_z$. Tal função de onda é chamada de “pacote de ondas tridimensional” e pode representar qualquer função quadrado-integrável não patológica. A função $g(k)$ pode ser complexa, isto é,

$$ g(k) = |g(k)| \exp(i\alpha(k)), $$

onde $\alpha(k)$ altera a fase da onda plana.

Funções de onda adequadas para partículas livres são pacotes de ondas.