Há um tipo de problema em cálculo que aparece repetidamente: situações do mundo real onde queremos fazer algo da melhor forma possível. Minimizar custo, maximizar área, otimizar eficiência.
Esses são os chamados problemas de máximo e mínimo.
A ideia geral é simples, embora a execução às vezes exija algum cuidado.
O método geral
Em um problema típico:
- Traduzimos a situação para equações
- Eliminamos variáveis desnecessárias
- Obtemos uma função de uma variável
- Encontramos onde essa função atinge máximo ou mínimo
Na prática, isso quase sempre significa:
Encontrar onde a derivada é zero — e verificar os extremos possíveis.
Um exemplo concreto
Uma empresa precisa construir caixas que comportem 3 pés cúbicos de volume.
- A base é quadrada
- O material da base custa 20 centavos por pé²
- As laterais e o topo custam 10 centavos por pé²
Pergunta:
Quais dimensões minimizam o custo?
Passo 1: Definir variáveis
Seja:
- $x$ = lado da base
- $y$ = altura
O volume é:
$$ V = x^2 y $$
Mas sabemos que:
$$ x^2 y = 3 $$
Passo 2: Função custo
O custo total é:
- base: $20x^2$
- topo: $10x^2$
- laterais: $4 \cdot 10 \cdot xy = 40xy$
Logo:
$$ C = 30x^2 + 40xy $$
Passo 3: Eliminar uma variável
Da equação do volume:
$$ y = \frac{3}{x^2} $$
Substituindo no custo:
$$ C(x) = 30x^2 + 40x \cdot \frac{3}{x^2} $$
$$ C(x) = 30x^2 + \frac{120}{x} $$
Agora temos um problema em uma única variável.
Passo 4: Minimizar
Derivando:
$$ C’(x) = 60x - \frac{120}{x^2} $$
Igualando a zero:
$$ 60x - \frac{120}{x^2} = 0 $$
$$ 60x = \frac{120}{x^2} $$
$$ x^3 = 2 $$
$$ x = \sqrt[3]{2} \approx 1.26 $$
Passo 5: Verificar comportamento
Observe:
- Quando $x \to 0$, o termo $\frac{120}{x} \to \infty$
- Quando $x \to \infty$, o termo $30x^2 \to \infty$
Logo:
O ponto encontrado deve ser um mínimo global.
Passo 6: Encontrar $y$
$$ y = \frac{3}{x^2} $$
$$ y = \frac{3}{(\sqrt[3]{2})^2} = \frac{3}{2^{2/3}} \approx 1.89 $$
Resultado final
As dimensões ótimas são aproximadamente:
- Base: $x \approx 1.26$
- Altura: $y \approx 1.89$