A partícula sujeita a uma força central $ \mathbf{F} = -k \mathbf{r} $, direcionada para a origem e proporcional à distância da origem, tem um potencial dado por $ U(r) = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m\omega^2r^2 $, com $ \omega^2 = \frac{k}{m} $ e $ \mathbf{F} = -\nabla U(r) $.
O Hamiltoniano da partícula é dado por:
$$ H = \frac{1}{2} \frac{P^2}{m} + \frac{1}{2} m \omega^2 R^2 = \frac{1}{2m}(P_x^2 + P_y^2 + P_z^2) + \frac{1}{2} m \omega^2 (X^2 + Y^2 + Z^2) $$
$$ = H_x + H_y + H_z. $$
O espaço de estados $ E $ pode ser escrito como um espaço produto tensorial $ E = E_x \otimes E_y \otimes E_z $, onde $ H_x $ age sobre $ E_x $, $ H_y $ age sobre $ E_y $ e $ H_z $ age sobre $ E_z $. Sabemos que as funções próprias de $ H_i $ em $ E_i $ são $ H_i | \Phi_n \rangle = (n_i + \frac{1}{2}) \hbar \omega | \Phi_n \rangle $. O conjunto $| \Phi_n \rangle$ é uma base ortonormal para $ E_i $.
A base ortonormal para o espaço total $ E $ é dada por:
$ | \Psi_{n_x, n_y, n_z} \rangle = | \Phi_{n_x} \rangle \otimes | \Phi_{n_y} \rangle \otimes | \Phi_{n_z} \rangle $
As energias do oscilador harmônico tridimensional são denotadas por $ E_n = (n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2}) \hbar \omega $, com $ n $ sendo um número inteiro não-negativo, $ n = n_x + n_y + n_z $. Todas as energias, exceto $ E_0 $, são degeneradas. A energia $ E_0 = \frac{3}{2} \hbar \omega $ não é degenerada.
Problema:
Para o oscilador harmônico isotrópico tridimensional, as energias próprias são $ E = (n + \frac{3}{2}) \hbar \omega $, com $ n = n_1 + n_2 + n_3 $, onde $ n_1, n_2, n_3 $ são os números de quanta associados às oscilações ao longo dos eixos cartesianos. Derive uma fórmula para a degenerescência do estado quântico $ n $, para partículas sem spin confinadas neste potencial.
Solução:
Temos $ n = n_1 + n_2 + n_3 $, com $ n_i = 0, 1, 2, \dots $. Para um dado $ n $, escolha um valor específico para $ n_1 $. Então, $ n_2 + n_3 = n - n_1 $. Existem $ n - n_1 + 1 $ pares possíveis $ $n_2, n_3$ $. $ n_2 $ pode assumir valores de 0 a $ n-1 $, e para cada $ n_2 $, o valor de $ n_3 $ é fixo. A degenerescência do estado é dada por:
$ g_n = \sum_{n_1=0}^{n} (n - n_1 + 1) = \sum_{n_1=0}^{n} (n + 1) - \sum_{n_1=0}^{n} n_1 = (n + 1)(n + 1) - \frac{1}{2}n(n + 1) = \frac{1}{2} n (n + 1)(n + 2). $
A descrição quântica não-relativística de partículas com spin envolve operadores associados ao spin, que são observáveis vetoriais. Seus componentes satisfazem as relações de comutação que definem um operador de momento angular. O estado quântico de uma partícula com spin não está completamente especificado apenas pela função de onda $ \psi(r) $ no espaço orbital $ E_r $, sendo necessário também especificar suas variáveis de spin no espaço de spin $ E_s $. A partícula é caracterizada por um valor único de $ s $, que pode ser um número inteiro ou semi-inteiro. Os vetores base $ $|s, m_s\rangle$ $, com $ m_s = -s, -s+1, \dots, s $, são os autovetores de $ S^2 $ e $ S_z $.
O espaço de estados total da partícula é o produto tensorial $ E = E_r \otimes E_s $, onde os observáveis de spin comutam com todos os observáveis orbitais. Para o elétron, o espaço de spin $ E_s $ é bidimensional.
Os operadores $ $ X, Y, Z, S^2, S_z $ $ formam uma C.S.C.O. em $ E = E_r \otimes E_s $, assim como os operadores $ $ P_x, P_y, P_z, S^2, S_z $ $. O vetor $ |r\rangle $ forma uma base para $ E_r $, e os vetores $ |\epsilon\rangle, |\epsilon\rangle = |+\rangle, |-\rangle $ formam uma base para $ E_s $. Assim, a base para o espaço total $ E $ é dada por $ |r\rangle \otimes |\epsilon\rangle = |r,\epsilon\rangle $, para partículas com spin $ \frac{1}{2} $.
Cada vetor $ |r,\epsilon\rangle $ é um autovetor comum de $ X, Y, Z, S^2 $ e $ S_z $. Temos:
$ X |r, \epsilon\rangle = x |r, \epsilon\rangle, \quad Y |r, \epsilon\rangle = y |r, \epsilon\rangle, \quad Z |r, \epsilon\rangle = z |r, \epsilon\rangle $ $ S^2 |r, \epsilon\rangle = \frac{3}{4} \hbar^2 |r, \epsilon\rangle, \quad S_z |r, \epsilon\rangle = \epsilon \hbar |r, \epsilon\rangle. $
A normalização é dada por $ \langle r’, \epsilon’ | r, \epsilon \rangle = \delta_{\epsilon \epsilon’} \delta(r - r’) $, e a completude por $ \sum_{\epsilon} \int d^3r |r, \epsilon \rangle \langle r, \epsilon | = I $.
A notação associada a um spinor de dois componentes é:
$ \psi_+(r) = \langle r,+|\psi\rangle, \quad \psi_-(r) = \langle r,-|\psi\rangle, $ onde o spinor adjunto é $ [\psi]^\dagger = (\psi_+^(r), \psi_-^(r)) $.
O produto interno entre os estados é dado por:
$ \langle \psi | \Phi \rangle = \sum_{\epsilon} \int d^3r \langle \psi | r, \epsilon \rangle \langle r, \epsilon | \Phi \rangle = \int d^3r (\psi_+^(r) \Phi_+(r) + \psi_-^(r) \Phi_-(r)) = \int d^3r [\psi]^\dagger [\Phi]. $
A normalização do estado é dada por:
$ \langle \psi | \psi \rangle = \int d^3r (\psi_+^(r) \psi_+(r) + \psi_-^(r) \psi_-(r)) = 1. $
A evolução do vetor de estado $ |\psi\rangle $ pode ser descrita por operadores lineares $ A $, com $ A|\psi\rangle = |\psi’\rangle $. A matriz associada ao operador $ A $ é dada por $ [A] $, de modo que $ [A]\psi = \psi’ $.
Operadores de rotação para uma partícula com spin $ \frac{1}{2} $:
Considere um sistema com uma única partícula de spin $ \frac{1}{2} $. Rotacionamos o sistema no sentido anti-horário sobre o eixo $ z $ por um ângulo $ \phi $. Se o estado do sistema for $ |\alpha\rangle $ antes da rotação, ele se transforma em $ |\alpha\rangle_R = U(R)|\alpha\rangle $, onde $ U(R) = \exp\left(-\frac{iS_z\phi}{\hbar}\right) = \exp\left(-\frac{i\sigma_z\phi}{2}\right) $.
O valor esperado do operador $ S_x $ antes e após a rotação é dado por:
$ \langle S_x \rangle_R = \langle \alpha | U^\dagger(R) S_x U(R) | \alpha \rangle = \langle \alpha | S_x \cos(\phi) - S_y \sin(\phi) | \alpha \rangle = \langle S_x \rangle \cos(\phi) - \langle S_y \rangle \sin(\phi). $
A rotação do vetor de spin $ S $ comporta-se como um vetor clássico sob rotação, com $ \langle S_i \rangle_R = \sum_j R_{ij} \langle S_j \rangle $, onde $ R $ é a matriz de rotação 3x3.
Propriedades do Grupo de Rotações:
Para caracterizar uma rotação, precisamos de três números reais. Podemos especificar a direção do eixo de rotação (dois ângulos) e o ângulo de rotação, ou a matriz de rotação 3x3 $ R $, que contém 9 elementos, mas é uma matriz ortogonal, $ R R^T = I $. Isso resulta em 6 equações independentes, deixando 3 parâmetros independentes.
O grupo formado pelas operações de multiplicação de matrizes ortogonais é chamado de $ \text{SO}(3) $. Para rotações em $ E_s $, a matriz unitária correspondente ao operador de rotação é $ U(R) $, que forma o grupo $ \text{SU}(2) $, com 3 parâmetros independentes. A relação entre $ \text{SO}(3) $ e $ \text{SU}(2) $ não é isomórfica, e rotações de $ 2\pi $ e $ 4\pi $ resultam na mesma matriz $ R $, mas em matrizes $ U(R) $ diferentes.
Observações Experimentais:
A precessão do spin, como descrita pelo operador de evolução $ U(t,0) = \exp\left(-i\omega S_z t / \hbar\right) $, pode ser observada em experimentos de interferometria de nêutrons, onde o caminho do estado vetorial do spin é rotacionado. O efeito observado é uma variação sinusoidal da intensidade no ponto de observação, verificada experimentalmente com uma periodicidade de $ 4\pi / \omega $.