Momento Angular

Momento Angular

O operador $J$, cujos componentes cartesianas satisfazem as relações de comutação
$$ [J_i, J_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} J_k $$
é definido como um operador de momento angular.
Para tal operador, temos $[J_i, J^2] = 0$, ou seja, o operador $J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2$ comuta com cada componente cartesiana de $J$. Podemos, portanto, encontrar uma base ortonormal de funções próprias comuns a $J^2$ e $J_z$. Denotamos essa base por ${|k,j,m\rangle}$.
Temos
$$ J^2 |k,j,m\rangle = j(j + 1) \hbar^2 |k,j,m\rangle, \quad J_z |k,j,m\rangle = m\hbar |k,j,m\rangle. $$
O índice $j$ pode assumir apenas valores inteiros ou semi-inteiros positivos. Para um dado $j$, o índice $m$ pode assumir um dos $2j + 1$ valores possíveis, $m = -j, -j + 1, \dots, j - 1, j$.

Definimos os operadores de escada $J^+ = J_x + i J_y$ e $J^- = J_x - i J_y$.
Temos então
$$ J_x = \frac{1}{2} (J^+ + J^-), \quad J_y = \frac{-i}{2} (J^+ - J^-). $$
Os operadores $J^\pm$ operando sobre os estados base ${|k,j,m\rangle}$ resultam em
$$ J^\pm |k,j,m\rangle = \sqrt{j(j + 1) - m(m \pm 1)} \hbar |k,j,m \pm 1\rangle. $$

Momento Angular Orbital

O operador $L = \mathbf{R} \times \mathbf{P}$ satisfaz as relações de comutação $[L_i, L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k$ e é chamado de operador de momento angular orbital. Denotamos os estados próprios comuns de $L^2$ e $L_z$ por ${|k,l,m\rangle}$. Na representação de coordenadas, temos
$$ L_z = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial \phi} $$
e
$$ L^2 = -\hbar^2 \left[\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]. $$
As funções próprias normalizadas comuns de $L^2$ e $L_z$ são chamadas de harmônicos esféricos.

Propriedades dos Harmônicos Esféricos

Os harmônicos esféricos são dados por
$$ Y_{lm}(\theta, \phi) = \frac{(-1)^l}{\sqrt{2l+1} l!} \left( \frac{(2l+1)(l+m)!}{4\pi (l-m)!} \right)^{1/2} e^{im\phi} \left( \sin \theta \right)^{l-m} \left( \sin \theta \right)^{2l} \frac{d^{l-m}}{d(\cos \theta)^{l-m}}. $$
Temos as expressões
$$ Y_{00} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}, \quad Y_{1\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin \theta \exp(\pm i\phi), \quad Y_{10} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta, $$
$$ Y_{2\pm 2} = \sqrt{\frac{15}{32\pi}} \sin^2 \theta \exp(\pm i 2\phi), \quad Y_{2\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{15}{8\pi}} \sin \theta \cos \theta \exp(\pm i\phi), $$
$$ Y_{20} = \sqrt{\frac{5}{16\pi}} (3 \cos^2 \theta - 1). $$

Os $Y_{lm}(\theta, \phi)$ formam um conjunto completo de funções angulares na esfera unitária. A ortonormalidade é expressa por
$$ \int_0^\pi \sin \theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi Y_{l’m’}^(\theta, \phi) Y_{lm}(\theta, \phi) = \delta_{l’l} \delta_{m’m}, $$
e a completude é expressa por
$$ \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l Y_{lm}^(\theta, \phi) Y_{lm}(\theta’, \phi’) = \delta(\cos \theta - \cos \theta’) \delta(\phi - \phi’) = \frac{\delta(\theta - \theta’) \delta(\phi - \phi’)}{\sin \theta}. $$

Conjugação Complexa

Temos que
$$ Y_{lm}^*(\theta, \phi) = (-1)^m Y_{l,-m}(\theta, \phi). $$

Paridade

A paridade dos harmônicos esféricos é dada por
$$ P Y_{lm}(\theta, \phi) = Y_{lm}(\pi - \theta, \pi + \phi) = (-1)^l Y_{lm}(\theta, \phi). $$
A paridade dos harmônicos esféricos é bem definida e depende apenas de $l$.

Adição de Momento Angular

Considere dois operadores de momento angular $J_1$ e $J_2$.
$J_1$ opera em $E_1$ e $J_2$ opera em $E_2$.
Seja $J = J_1 + J_2$. Então, $J$ opera em $E = E_1 \otimes E_2$.
Como os operadores $J_1^2$, $J_1z$, $J_2^2$, e $J_2z$ comutam, existe uma base de autovetores comuns para $E$. Denotamos essa base por ${|j_1, j_2; m_1, m_2\rangle}$.
Podemos escrever os vetores de uma base como combinações lineares dos vetores da outra base:
$$ |j_1, j_2; j, m\rangle = \sum_{m_1} \sum_{m_2} C_{jm_1m_2} |j_1, j_2; m_1, m_2\rangle, $$
$$ |j_1, j_2; m_1, m_2\rangle = \sum_j \sum_m C_{jm_1m_2} |j_1, j_2; j, m\rangle. $$
Os coeficientes $C_{jm_1m_2} = \langle j_1, j_2; m_1, m_2 | j_1, j_2; j, m \rangle$ são chamados de coeficientes de Clebsch-Gordan.

Propriedades dos Coeficientes de Clebsch-Gordan

Os coeficientes $C_{jm_1m_2}$ são reais e $C_{jm_1m_2} = 0$ a menos que $m_1 + m_2 = m$ e $|j_1 - j_2| \leq j \leq |j_1 + j_2|$.
Para o caso de estiramento, temos $C_{jm_1 = j_1, m_2 = j_2} = 1$.

Spin ½

O espaço de estados de uma partícula de spin $1/2$ é bidimensional.
A base ortonormal comum de $S^2$ e $S_z$ é ${|+\rangle, |-\rangle}$.
Abaixo estão as matrizes dos operadores de spin nesta base.

Matrizes de Spin:
Matriz de spin $z$, matriz de spin $x$, matriz de spin $y$, matriz de spin $S^2$.

Escrevemos $S = \frac{\hbar}{2} \sigma$. As matrizes de Pauli são as matrizes de $\sigma$.

Propriedades de $\sigma_x$, $\sigma_y$ e $\sigma_z$:
$$ \text{det}(\sigma_i) = -1, \quad \text{Tr}{\sigma_i} = 0, \quad \sigma_i^2 = I, \quad \sigma_x \sigma_y = -\sigma_y \sigma_x = i \sigma_z. $$
De forma geral, temos
$$ \sigma_i \sigma_j = i \epsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} I, \quad [\sigma_i, \sigma_j] = i 2 \epsilon_{ijk} \sigma_k. $$
Portanto,
$$ [S_x, S_y] = i \hbar S_z, \quad [S_y, S_z] = i \hbar S_x, \quad [S_z, S_x] = i \hbar S_y, $$
uma vez que $S = \frac{\hbar}{2} \sigma$.

O operador $S_u$ é definido através de
$$ S \cdot u = S_x \sin \theta \cos \phi + S_y \sin \theta \sin \phi + S_z \cos \theta. $$
A matriz de $S_u$ é dada por
$$ (S_u) = S_x \sin \theta \cos \phi + S_y \sin \theta \sin \phi + S_z \cos \theta. $$

Os autovetores de $S_u$ são
$$ |+\rangle_u = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \exp\left(-\frac{i\phi}{2}\right) |+\rangle + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \exp\left(\frac{i\phi}{2}\right) |-\rangle, $$
$$ |-\rangle_u = -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \exp\left(-\frac{i\phi}{2}\right) |+\rangle + \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \exp\left(\frac{i\phi}{2}\right) |-\rangle. $$
Portanto,
$$ |+\rangle = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) |+\rangle_u - \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) |-\rangle_u, \quad |-\rangle = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) |+\rangle_u + \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) |-\rangle_u. $$

Sistema de Dois Spins ½

Seja $E_s = E_s(1) \otimes E_s(2)$ o espaço de estados de um sistema de duas partículas com spin $1/2$.
Os vetores do produto tensorial ${|++\rangle, |+-\rangle, |-+\rangle, |–\rangle}$ formam uma base para $E_s$.
No espaço de estados de quatro dimensões, os operadores $S_{iz}$ são operadores de produto.
$$ S_{1z} = S_{1z}(1) \otimes I(2), \quad S_{2z} = I(1) \otimes S_{2z}(2), \quad \text{etc.} $$
Os autovetores comuns de $S^2 = (S_1 + S_2)^2$ e $S_z = S_{1z} + S_{2z}$ também formam uma base de $E_s$, que denotamos por ${|S, S_z\rangle}$, onde $s(s + 1) \hbar^2$ denota o autovalor de $S^2$ e $m_s \hbar$ denota o autovalor de $S_z$.
Temos o estado singlete
$$ |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+-\rangle - |-+\rangle) $$
e os estados tripletes
$$ |11\rangle = |++\rangle, \quad |10\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+-\rangle + |-+\rangle), \quad |1-1\rangle = |–\rangle.