Introdução
O cálculo se organiza em torno de dois conceitos principais: derivadas e integrais. A derivada descreve como uma quantidade varia em relação a outra, enquanto a integral pode ser vista tanto como o processo inverso da derivação quanto como um limite de somas.
Para ilustrar, considere um objeto em movimento cuja velocidade é conhecida ao longo do tempo. A distância percorrida pode ser aproximada dividindo o intervalo de tempo em partes menores e somando, em cada parte, o produto da velocidade pelo tempo correspondente. À medida que essas partes se tornam menores, essa soma se aproxima de um valor limite, que é a integral.
Antes de utilizar essas ferramentas, é necessário estabelecer como situações concretas podem ser descritas em termos matemáticos. Esse processo é chamado de modelagem.
Modelagem matemática
A modelagem consiste em introduzir variáveis para representar quantidades relevantes e escrever equações que expressem as relações entre elas.
Exemplo
Considere a construção de uma caixa com base quadrada e volume fixo. Denote por
- $x$: o lado da base
- $y$: a altura
- $V$: o volume
- $C$: o custo total
A relação geométrica entre essas quantidades é dada por
$$ V = x^2 y. $$
Se o volume é fixado em 3, então
$$ x^2 y = 3. $$
Essa equação pode ser resolvida para $y$, obtendo-se
$$ y = \frac{3}{x^2}. $$
O custo total depende das áreas das faces. Supondo custos distintos para base, topo e laterais, obtém-se uma expressão da forma
$$ C = 30x^2 + 40xy. $$
Substituindo a expressão de $y$ na equação do custo, chega-se a uma função de uma única variável:
$$ C(x) = 30x^2 + \frac{120}{x}. $$
Funções e notação
Uma função associa a cada valor de uma variável um valor correspondente de outra. Essa relação é frequentemente escrita como
$$ y = f(x), $$
onde $x$ é a variável independente e $y$ é a variável dependente.
No exemplo anterior, a função custo pode ser escrita como
$$ f(x) = 30x^2 + \frac{120}{x}. $$
A notação permite avaliar a função em pontos específicos. Por exemplo,
$$ f(3) = 30 \cdot 3^2 + \frac{120}{3} = 270 + 40 = 310. $$
Terminologia
Uma equação é uma igualdade entre duas expressões. Uma expressão é uma combinação de números, variáveis e operações. Uma variável é um símbolo que representa um valor numérico. Um operador é um símbolo que indica uma operação.
Mudança de perspectiva
Considere a relação
$$ x = 2t + 3. $$
Nessa forma, $x$ é visto como função de $t$. No entanto, é possível resolver a mesma relação para $t$ em função de $x$,
$$ t = \frac{x - 3}{2}. $$
A escolha de qual variável desempenha o papel de dependente depende do problema considerado.
Gráficos de funções
O gráfico de uma função consiste no conjunto de pontos $(t, x)$ que satisfazem a equação. Em geral, selecionam-se valores para a variável independente, calcula-se o valor correspondente da variável dependente e representam-se esses pares no plano.
Funções lineares
Uma função é linear quando pode ser escrita na forma
$$ x = mt + b, $$
onde $m$ e $b$ são constantes. O gráfico correspondente é uma reta, que pode ser determinada por dois pontos.
Por exemplo, na função
$$ x = 2t + 3, $$
se $t = 0$, então $x = 3$, e se $t = 1$, então $x = 5$. Esses dois pontos determinam a reta.
Funções quadráticas
Uma função quadrática pode ser escrita como
$$ x = at^2 + bt + c, $$
onde $a$, $b$ e $c$ são constantes. O gráfico é uma parábola. A posição do vértice pode ser obtida por
$$ t = -\frac{b}{2a}. $$
Considere o exemplo
$$ x = 5 + 8t - 16t^2. $$
Neste caso,
$$ a = -16, \quad b = 8. $$
Logo,
$$ t = -\frac{8}{2(-16)} = \frac{1}{4}. $$
Substituindo esse valor na função,
$$ x = 5 + 8\left(\frac{1}{4}\right) - 16\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 6. $$
O vértice é, portanto, o ponto $\left(\frac{1}{4}, 6\right)$. Outros pontos podem ser obtidos por substituição direta, e a simetria da parábola em torno da reta vertical que passa pelo vértice pode ser utilizada na construção do gráfico.
Observação final
A formulação de modelos, a manipulação de equações e a análise de funções constituem a base para o estudo sistemático de derivadas e integrais.