Introdução

A glicose é a principal fonte de energia do organismo humano e sua concentração no sangue é rigidamente controlada por mecanismos hormonais, principalmente pela insulina.

Do ponto de vista matemático, essa dinâmica pode ser descrita por sistemas de equações diferenciais que representam produção, consumo e regulação hormonal.

Carboidratos e glicose

Carboidratos possuem fórmula geral:

$$ C_x(H_2O)_y $$

Classificação:

  • Monossacarídeos: glicose, frutose, galactose
  • Dissacarídeos: sacarose, lactose, maltose
  • Polissacarídeos: amido, glicogênio, celulose

A glicose (C_6H_{12}O_6) possui massa molar:

$$ 6\cdot 12 + 12\cdot 1 + 6\cdot 16 = 180 , \text{g/mol} $$

Concentração de glicose

Definimos:

$$ G(t) = \text{concentração de glicose no sangue} $$

O valor basal (jejum) é:

$$ G_b = \lim_{t \to \infty} G(t) $$

Valores típicos:

  • 80–120 mg/dL (jejum)
  • até 180 mg/dL (pós-prandial)

Regulação da glicose

O controle da glicose ocorre por dois mecanismos:

Não dependentes de insulina

  • Produção hepática de glicose (glicogênio → glicose)
  • Consumo celular de glicose

Dependentes de insulina

  • Aumento da captação de glicose pelos tecidos
  • Redução da produção hepática

Hipoglicemia e hiperglicemia

  • Hipoglicemia: (G < 70 , \text{mg/dL})
  • Hiperglicemia: níveis elevados associados a diabetes

Modelo geral glicose–insulina

A dinâmica pode ser descrita por:

$$ \frac{dG}{dt} = \text{produção} - \text{consumo} $$

$$ \frac{dI}{dt} = \text{secreção} - \text{depuração} $$

onde:

  • (G(t)): glicose
  • (I(t)): insulina

Forma geral do modelo

$$ \frac{dG}{dt} = f(G,I) + P_I $$

$$ \frac{dI}{dt} = g(G,I) $$

onde:

  • (P_I): entrada de glicose via alimentação
  • (f): balanço metabólico da glicose
  • (g): dinâmica da insulina

Modelo de Topp

Glicose

$$ \frac{dG}{dt} = R_0 - (E + S_I I)G $$

Insulina

$$ \frac{dI}{dt} = \alpha - kI $$

Equilíbrio

O ponto de equilíbrio ((G_b, I_b)) satisfaz:

$$ R_0 - (E + S_I I_b)G_b = 0 $$

$$ \alpha - k I_b = 0 $$

Modelo mínimo (Bergman)

Dinâmica da glicose

$$ \frac{dG}{dt} = -(G + X)G + C $$

Dinâmica do efeito da insulina

$$ \frac{dX}{dt} = k_a I - k_b X $$

Interpretação

  • (G): glicose no sangue
  • (I): insulina plasmática
  • (X): ação retardada da insulina

Entrada alimentar

A entrada de glicose é modelada por:

$$ P_I = \gamma f(t) $$

onde:

  • (\gamma): carga de glicose ingerida
  • (f(t)): função de absorção

Conclusão

Modelos glicose–insulina mostram que:

  • o sistema é fortemente não linear
  • há atrasos fisiológicos importantes
  • parâmetros como (S_I) são críticos
  • diferentes escalas de tempo aparecem naturalmente