Equações de Maxwell

Equações de Maxwell

As equações de Maxwell (unidades SI) são:

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, $$

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, $$

Ou, em forma macroscópica:

$$ \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f, \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, $$

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}. $$

Em materiais linear, isotrópicos e homogêneos (lih) com $\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$ e $\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$ e $\epsilon$, $\mu$ constantes, temos:

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_f}{\epsilon}, \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, $$

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{j}_f + \epsilon \mu \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. $$

As equações de Maxwell são equações lineares e o princípio da superposição é válido.

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}. $$

$$ \nabla \times (\mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}) = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\nabla \Phi. $$

Energia e momento em Eletrodinâmica

O teorema de Poynting, $ \mathbf{E} \cdot \mathbf{j} = - \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot \mathbf{S} $, é uma afirmação de conservação de energia.

A densidade de energia $u$ é dada por:

$$ u = \frac{1}{2\mu_0} \mathbf{B}^2 + \frac{\epsilon_0}{2} \mathbf{E}^2, $$

e o fluxo de energia $\mathbf{S}$ é:

$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}). $$

Definimos a densidade de momento como:

$$ \mathbf{g} = \frac{\mathbf{S}}{c^2}. $$

O Gauging Lorentz

Se em eletrodinâmica escolhermos o gauging de Lorentz, definido por:

$$ \nabla \cdot \mathbf{A} = -\frac{1}{c^2} \frac{\partial \Phi}{\partial t}, $$

então $\Phi$ e cada componente cartesiano de $\mathbf{A}$ satisfazem a equação de onda inhomogênea:

$$ \nabla^2 \Phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf{j}. $$

As soluções são:

$$ \Phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} dV’, $$

$$ \mathbf{A}_i(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}_i(\mathbf{r}’, t’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} dV’, $$

onde $\rho(\mathbf{r}’, t’)|_{ret} = \rho(\mathbf{r}’, t - |\mathbf{r} - \mathbf{r}’| / c)$.

Escolher $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ é chamado de escolher o gauging Coulomb.