Introdução

Este trabalho estuda processos de Markov em tempo contínuo nos quais as taxas de transição de um grupo de estados (os estados rápidos) são grandes em comparação com as taxas de transição dos outros estados (os estados lentos).

Para propriedades básicas de processos de Markov, ver Brémaud [1].

Os estados lentos serão numerados como $1, 2, \dots, n$ e os estados rápidos como $n+1, \dots, n+m$.

Notação

Considere as seguintes taxas de transição:

  • $a_{ij}$: taxa de transição de $i$ para $j$, com $1 \le i,j \le n$, $i \ne j$
  • $a_i = \sum_{j \ne i} a_{ij}$: taxa total de saída do estado $i$
  • $b_{ij}$: taxa de transição de $i$ para $n+j$, com $1 \le i \le n$
  • $b_i = \sum_{j=1}^m b_{ij}$

Para os estados rápidos:

  • $c_{ij}$: taxa de transição de $n+i$ para $n+j$, $i \ne j$
  • $c_i = \sum_{j \ne i} c_{ij} + \sum_{j=1}^n r_{ij}$

Probabilidades de transição:

  • $v_{ij}$: probabilidade de transição de $n+i$ para $n+j$
  • $r_{ij}$: probabilidade de transição de $n+i$ para $j$

com:

$$ \sum_j v_{ij} + \sum_j r_{ij} = 1 $$

Regime assintótico

Estudamos o comportamento do processo quando um parâmetro $x \to \infty$, interpretado como separação de escalas:

  • estados rápidos têm taxas muito grandes
  • estados lentos evoluem mais lentamente

Equação de Kolmogorov

Seja:

  • $u_i(t)$ a probabilidade de estar no estado $i$ no tempo $t$
  • $u(t) = (u_1(t), \dots, u_{n+m}(t))$

Então:

$$ \frac{du}{dt} = -u Q_x $$

onde $Q_x$ é a matriz geradora do processo.

A solução é:

$$ u(t) = u(0)e^{-tQ_x} = u(0)P(t) $$

onde:

$$ P(t) = e^{-tQ_x} $$

Matriz exponencial

A exponencial de matriz é definida por:

$$ e^{-tQ_x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-t)^n Q_x^n}{n!} $$

Ideia de limite

Queremos estudar:

$$ e^{-tQ_x} \to e^{-tQ} \quad \text{quando } x \to \infty $$

sob condições adequadas de convergência de resolventes.

Estrutura em blocos

A matriz $Q_x$ é escrita em blocos:

  • $A$: transições entre estados lentos
  • $B$: de lentos para rápidos
  • $R$: de rápidos para lentos
  • $V$: entre estados rápidos

Resultado principal (ideia)

Sob hipóteses de acessibilidade dos estados rápidos aos lentos:

  • a matriz $V$ é invertível
  • o sistema rápido “se estabiliza” rapidamente
  • o sistema efetivo reduzido é dado por:

$$ A - B V^{-1} R $$

Interpretação

O termo:

$$ F = V^{-1}R $$

representa o efeito médio dos estados rápidos sobre os lentos.

Assim, o sistema limite é governado por:

$$ A - BF $$

Teorema (forma reduzida)

O semigrupo converge:

$$ e^{-tQ_x} \to S(t) $$

onde $S(t)$ é gerado pelo operador efetivo dos estados lentos.

Conclusão

Processos de Markov com separação de escalas podem ser reduzidos a um sistema menor, onde os estados rápidos são “integrados” e substituídos por um efeito médio sobre os estados lentos.

Essa redução simplifica significativamente a análise assintótica do sistema.