Introdução à Função de Distribuição de Partículas

Seja f(x, v, t) a função de distribuição de partículas, onde:

  • x: coordenada espacial
  • v: velocidade microscópica
  • t: tempo

A quantidade f(x, v, t) dx dv representa a probabilidade de encontrar uma partícula no intervalo espacial [x, x+dx] e com velocidade em [v, v+dv] no tempo t.

🧩 A Equação de Boltzmann

A equação de Boltzmann descreve a evolução temporal da função f(x, v, t) levando em conta colisões instantâneas entre partículas. Estabelece o elo entre a descrição cinética e a hidrodinâmica.

Equação geral:

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla f + \vec{g} \cdot \nabla_v f = Q(f, f) $$

Onde:

  • g: aceleração por forças externas
  • Q(f,f): integral de colisão

Por que existe o termo ( Q(f, f) )?

Natureza Estatística das Colisões

A função ( f(\vec{x}, \vec{v}, t) ) descreve o comportamento médio de muitas partículas.

  • Partículas interagem por colisões.
  • Essas colisões alteram as velocidades individuais.
  • A equação de Boltzmann é uma equação de balanço no espaço de fases.

Necessidade de um Termo de Colisão

A equação precisa contabilizar o efeito líquido das colisões:

  • Entradas no estado ( (\vec{x}, \vec{v}) ): partículas colidem e assumem a velocidade ( \vec{v} ).
  • Saídas do estado ( (\vec{x}, \vec{v}) ): partículas com velocidade ( \vec{v} ) colidem e mudam para outras velocidades.

Logo, define-se ( Q(f, f) ) como:

$$ Q(f, f) = (\text{entradas}) - (\text{saídas}) $$

Forma Geral de ( Q(f, f) )

O termo ( Q(f, f) ) envolve uma integral sobre todas as colisões possíveis:

$$ Q(f, f) = \int d\vec{v}’ \int d\Omega , \Xi(\Omega) |\vec{v} - \vec{v}’| \left[ f(\check{v})f(\check{v}’) - f(v)f(v’) \right] $$

  • ( f(v)f(v’) ): probabilidade de uma colisão ocorrer.
  • ( f(\check{v})f(\check{v}’) ): probabilidade de estados pós-colisão contribuírem para ( f(\vec{v}) ).
  • ( \Xi(\Omega) ): propriedades físicas do choque (seção de choque).

Conservação e Irreversibilidade

O termo ( Q(f, f) ) respeita leis físicas fundamentais:

  • Conservação de massa, momento linear e energia
    → Invariantes da colisão

  • Segunda Lei da Termodinâmica
    → ( Q(f, f) ) conduz o sistema ao equilíbrio de Maxwell-Boltzmann

Papel Fundamental de ( Q(f, f) )

  • Controla a relaxação para o equilíbrio.
  • Sem ( Q(f, f) ), o sistema evoluiria apenas por transporte (advecção).
  • É a ponte entre a microdinâmica e a hidrodinâmica.

Discretização no LBM

No LBM, discretizamos:

  • O espaço: uma malha regular (ex: quadrada, cúbica)
  • O tempo: passos discretos ( \Delta t )
  • A velocidade: conjunto finito de direções ( \vec{c}_i )

➡️ Isso leva à função de distribuição discreta ( f_i(\vec{x}, t) )

Redes de Velocidade

As direções ( \vec{c}_i ) são pré-definidas.

Exemplo 2D: Rede D2Q9

  • D = Dimensão (2D)
  • Q = Número de velocidades (9)

Velocidades:

$$ \vec{c}_0 = (0, 0), \quad \vec{c}_1 = (1, 0), \quad \vec{c}_2 = (0, 1), \quad \dots, \quad \vec{c}_8 = (-1, -1) $$

Equação de Lattice Boltzmann

Com a aproximação BGK e discretização, a equação se torna:

$$ f_i(\vec{x} + \vec{c}_i \Delta t, t + \Delta t) = f_i(\vec{x}, t) - \frac{\Delta t}{\tau} \left[f_i(\vec{x}, t) - f_i^{\text{eq}}(\vec{x}, t)\right] $$

  • Streaming: ( f_i \to \vec{x} + \vec{c}_i \Delta t )
  • Colisão: relaxamento para ( f_i^{\text{eq}} )

Interpretação da Equação

1️⃣ Colisão: partículas trocam momento com vizinhas
2️⃣ Advecção: partículas movem-se ao longo das direções ( \vec{c}_i )

➡️ Processo local e paralelo

Funções de Equilíbrio

A distribuição de equilíbrio ( f_i^{\text{eq}} ) depende de:

  • Densidade ( \rho )
  • Velocidade macroscópica ( \vec{u} )

Forma típica (D2Q9):

$$ f_i^{\text{eq}} = w_i \rho \left[1 + \frac{\vec{c}_i \cdot \vec{u}}{c_s^2} + \frac{(\vec{c}_i \cdot \vec{u})^2}{2c_s^4} - \frac{\vec{u} \cdot \vec{u}}{2c_s^2} \right] $$

  • ( w_i ): pesos para cada direção
  • ( c_s ): velocidade do som na rede

🔄 Integral de Colisão ( Q(f, f) )

$$ Q(f, f) = \int dv’ \int \Xi(\Omega) |\vec{v} - \vec{v}’| [f(\check{v})f(\check{v}’) - f(v)f(v’)] d\Omega $$

  • Ξ(Ω): seção de choque diferencial
  • dΩ: ângulo sólido de espalhamento
  • Colisão transforma: ( (v, v’) \rightarrow (\check{v}, \check{v}’) )

Aproximação BGK

Resolver ( Q(f, f) ) exatamente é muito complexo.

➡️ A aproximação BGK simplifica o termo de colisão como uma relaxação para o equilíbrio:

$$ Q(f, f) \approx -\frac{1}{\tau} \left(f - f^{\text{eq}}\right) $$

  • ( \tau ): tempo de relaxação
  • ( f^{\text{eq}} ): distribuição de Maxwell-Boltzmann de equilíbrio

Interpretação Física

A BGK diz que:

  • Cada partícula tende a relaxar para o equilíbrio.
  • A taxa de relaxação é inversamente proporcional ao tempo ( \tau ).
  • Descreve colisões de forma eficiente e aproximada.

Vantagens da BGK

✅ Forma analiticamente simples
✅ Conserva massa, momento e energia
✅ Facilita implementação no Lattice Boltzmann Method (LBM)

Equação de Boltzmann com BGK

Substituindo na equação original:

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla f + \vec{g} \cdot \nabla_{\vec{v}} f = -\frac{1}{\tau} \left(f - f^{\text{eq}}\right) $$

➡️ Base do Lattice Boltzmann Method

📏 Propriedades Macroscópicas

Derivadas da função ( f(x, v, t) ):

$$ \rho(x, t) = \int m f(x, v, t) dv $$

$$ \rho u(x, t) = \int m v f(x, v, t) dv $$

$$ \rho e(x, t) = \int \frac{m}{2}(v - u)^2 f(x, v, t) dv $$

Onde:

  • ρ: densidade do fluido
  • u: velocidade macroscópica
  • e: energia interna específica

🛠 Colisões e Invariantes

Grandezas invariantes na colisão:

$$ Ψ(v) = m, \quad m v_i, \quad \frac{m v^2}{2} $$

Definição geral de invariante colisional:

$$ \int Ψ(v) Q(f, f) dv = 0 $$

Multiplicando a equação de Boltzmann por ( Ψ ) e integrando:

$$ \frac{\partial \langle\langle Ψ \rangle\rangle}{\partial t} + \nabla \cdot \langle\langle Ψ v \rangle\rangle = \vec{g} \cdot \langle\langle \nabla_v Ψ \rangle\rangle $$

Com a notação:

$$ \langle\langle Ψ \rangle\rangle = \int Ψ(v) f(x, v, t) dv $$

📊 Equações de Conservação (1/2)

🧮 Equação da Continuidade:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u) = 0 $$

⚖️ Conservação da Quantidade de Movimento:

$$ \frac{\partial (\rho u)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u \otimes u) = \nabla \cdot \mathbf{S} + \rho g $$

Com:

$$ \mathbf{S} = -\int m v’’ \otimes v’’ f dv’' $$

Onde:

  • ( v’’ = v - u ): velocidade peculiar

📊 Equações de Conservação (2/2)

🔥 Conservação da Energia:

$$ \frac{\partial (\rho e_t)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u e_t) = \nabla \cdot (\mathbf{S} u) - \nabla \cdot \vec{q} + \rho u \cdot g $$

Com:

  • Energia total: ( e_t = e + \frac{1}{2} u^2 )
  • Fluxo de calor:

$$ \vec{q} = \frac{1}{2} \int m (v’’)^2 v’’ f dv’' $$