Índice de Refração
Para uma onda monocromática plana em um material, a velocidade da luz é dada por:
$$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{c}{n}. $$
O índice de refração é:
$$ n = c\sqrt{\mu \epsilon}. $$
Para a maioria dos materiais dielétricos, temos $\mu \approx \mu_0$, e então:
$$ n = \sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_0}}. $$
Para muitos materiais, a permissividade $\epsilon$ depende da frequência angular $\omega$. Podemos entender como $\epsilon(\omega)$ depende de $\omega$?
Modelo Simples para Material Dielétrico
Consideremos um modelo simples de um material dielétrico:
$$ P = \epsilon_0 \chi_e E = N \alpha_e E_{\text{eff}} = N p. $$
Aqui, $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica, $\alpha_e$ é a polarizabilidade atômica ou molecular, $N$ é o número de átomos ou moléculas por unidade de volume, e $p$ é o momento dipolar por átomo ou molécula. $E$ é o campo macroscópico médio no meio, e $E_{\text{eff}}$ é o campo microscópico devido a todos os outros átomos ou moléculas, exceto o átomo ou molécula em questão.
A densidade de polarização é dada por:
$$ D = \epsilon_0 E + P = \epsilon_0 (1 + \chi_e) E = \epsilon E. $$
Movimento dos Elétrons em um Campo Elétrico
Se modelarmos os elétrons presos por uma força harmônica aos núcleos atômicos e incluirmos uma força de amortecimento nos osciladores atômicos, a equação de movimento para um elétron em presença de um campo elétrico é:
$$ F_e = -q_e E_{\text{eff}} = m \left( \frac{d^2 r}{dt^2} + \gamma \frac{dr}{dt} + \omega_0^2 r \right). $$
Se o campo elétrico variar sinusoidalmente no tempo e o comprimento de onda for suficientemente grande para que as variações espaciais sobre as dimensões de um átomo sejam negligenciáveis, escrevemos:
$$ E_{\text{eff}} = E_0 \exp(-i\omega t). $$
Isso nos leva a:
$$ r = r_0 \exp(-i\omega t), \quad r_0 = -\frac{q_e}{m} \frac{E_0}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma \omega}. $$
O momento dipolar induzido do átomo é:
$$ p = -q_e r = \frac{q_e^2}{m} \frac{E_{\text{eff}}}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma \omega}, $$
quando o átomo contém um único elétron.
Se houver $f_j$ elétrons por átomo com frequências de ligação $\omega_j$ e constantes de amortecimento $\gamma_j$, então:
$$ p = \frac{q_e^2}{m} E_{\text{eff}} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega}, \quad \sum_j f_j = Z. $$
Aqui, $Z$ é o número total de elétrons por átomo, e $f_j$ são chamadas de forças do oscilador.
A polarização $P$ agora é dada por:
$$ P = Np = \frac{N q_e^2 E_{\text{eff}}}{m} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega} = \epsilon_0 \chi_e E. $$
Em substâncias com baixa densidade, temos $E_{\text{eff}} \approx E$. Então,
$$ \chi_e = \frac{N q_e^2}{\epsilon_0 m} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega}, $$
e
$$ \epsilon = \epsilon_0 + \frac{N q_e^2}{m} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega}. $$
Dispensão Normal e Anômala
Em materiais dielétricos, $\omega_j \gg \gamma_j$ e $\epsilon(\omega)$ é real para a maioria das frequências. Para metais, alguns $\omega_j \ll \gamma_j$ e $\epsilon(\omega)$ é um número complexo.
Se a frequência angular do campo elétrico efetivo, $\omega$, for menor do que todas as $\omega_j$, então $\epsilon > \epsilon_0$, e se $\omega$ for maior do que todas as $\omega_j$, então $\epsilon < \epsilon_0$.
- Dispensão Normal: $\text{Re}(\epsilon(\omega))$ aumenta com $\omega$.
- Dispensão Anômala: $\text{Re}(\epsilon(\omega))$ diminui com o aumento de $\omega$.
A dispensão anômala ocorre quando $\omega \approx \omega_j$, nas proximidades das frequências de ressonância. Aqui, $\text{Im}(\epsilon(\omega))$ se torna grande.
O Índice de Refração Complexo
Um $\epsilon(\omega)$ complexo na equação de onda implica um número de onda complexo $k$ para soluções de ondas planas:
$$ k^2 = \frac{\omega^2}{v^2} = \mu \epsilon \omega^2. $$
Se escrevermos $k = \beta + i \frac{\alpha}{2}$, então $\alpha$ é chamada de constante de atenuação.
Para uma onda plana propagando na direção $z$ com $E = E_x i$, temos:
$$ E_x = E_0 \exp(i(kz - \omega t)) = E_0 \exp\left(-\frac{\alpha}{2} z\right) \exp(i(\beta z - \omega t)). $$
A intensidade é proporcional a $E^2$ e decai como $\exp(-\alpha z)$.
O índice de refração é:
$$ n = \sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_0}}. $$
Assim, temos:
$$ n = \sqrt{1 + \frac{N q_e^2}{\epsilon_0 m} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega}}. $$
Se $\epsilon \approx \epsilon_0$ e $n \approx 1$, então podemos escrever:
$$ n \approx 1 + \frac{N q_e^2}{2 \epsilon_0 m} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega}. $$
O índice de refração, em geral, é um número complexo.