Neste post exploramos propriedades fundamentais do valor esperado em variáveis aleatórias.
1. Linearidade da Esperança
Um dos resultados mais importantes:
$$ \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n} X_i \right] = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[X_i] $$
A esperança da soma é a soma das esperanças, mesmo sem independência.
2. Expectação da Binomial
Se $Y \sim \text{Bin}(n, p)$, podemos escrever:
$$ Y = \sum_{i=1}^{n} X_i $$
onde $X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$.
Como:
$$ \mathbb{E}[X_i] = p $$
Então:
$$ \mathbb{E}[Y] = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[X_i] = np $$
3. Expectação da Negative Binomial
Se $Y \sim \text{NegBin}(r, p)$, representando o número de tentativas até $r$ sucessos.
Podemos escrever:
$$ Y = \sum_{i=1}^{r} X_i $$
onde cada $X_i \sim \text{Geom}(p)$.
Sabemos que:
$$ \mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{p} $$
Logo:
$$ \mathbb{E}[Y] = \frac{r}{p} $$
4. Desigualdade de Jensen
Se $f$ é convexa ($f’’(x) \ge 0$), então:
$$ \mathbb{E}[f(X)] \ge f(\mathbb{E}[X]) $$
Se $f$ é côncava:
$$ \mathbb{E}[f(X)] \le f(\mathbb{E}[X]) $$
Essa desigualdade é fundamental em teoria da informação, aprendizado de máquina e otimização.
5. Expectativa Condicional
Para variáveis discretas:
$$ \mathbb{E}[X \mid Y = y] = \sum_x x , P(X = x \mid Y = y) $$
Para variáveis contínuas:
$$ \mathbb{E}[X \mid Y = y] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X \mid Y}(x \mid y), dx $$
Propriedade:
$$ \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n} X_i \mid Y \right]
\sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[X_i \mid Y] $$
6. Lei da Expectativa Total
Resultado fundamental:
$$ \mathbb{E}\big[,\mathbb{E}[X \mid Y],\big] = \mathbb{E}[X] $$
A média das médias condicionais é igual à média original.
7. Exemplo: Dois Dados
Se lançamos dois dados $D_1$ e $D_2$:
$$ X = D_1 + D_2 $$
e
$$ Y = D_2 $$
Como $D_1$ e $D_2$ são independentes e:
$$ \mathbb{E}[D_1] = 3.5 $$
Temos:
$$ \mathbb{E}[X \mid Y = y] = y + 3.5 $$
8. Exemplo Recursivo
Considere um algoritmo que:
- Com probabilidade $1/3$ retorna $3$
- Com probabilidade $1/3$ retorna $5 + Y$
- Com probabilidade $1/3$ retorna $7 + Y$
Então:
$$ \mathbb{E}[Y]
\frac{1}{3}\cdot 3 + \frac{1}{3}(5 + \mathbb{E}[Y]) + \frac{1}{3}(7 + \mathbb{E}[Y]) $$
Resolvendo a equação:
$$ \mathbb{E}[Y] = 15 $$
9. O Problema do Secretário
Você entrevista $n$ candidatos e pode contratar apenas um.
Estratégia:
- Rejeitar os primeiros $k$
- Contratar o próximo candidato melhor que todos os anteriores
A probabilidade de contratar o melhor candidato é aproximadamente:
$$ P_k \approx \frac{k}{n} \ln\left(\frac{n}{k}\right) $$
Maximizando essa função:
$$ k \approx \frac{n}{e} $$
Ou seja, a estratégia ótima é rejeitar aproximadamente
$$ \frac{1}{e} \approx 37% $$
dos candidatos iniciais.