A Equação de Schrödinger
A equação de Schrödinger para uma partícula de massa $ m $ movendo-se em uma dimensão é dada por:
$$
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x, t)}{\partial x^2} + U(x)\psi(x, t) = i\hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t}.
$$
Para uma partícula livre, como um elétron movendo-se livremente no espaço, $ U(x) = 0 $. Nesse caso, a equação de Schrödinger assume a forma:
$$
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x, t)}{\partial x^2} = i\hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t}.
$$
Soluções da Equação de Onda para Ondas em Cordas
A equação de onda para uma onda em uma corda é dada por:
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0,
$$
onde $ v $ é a velocidade da onda.
Duas soluções linearmente independentes para essa equação são:
$$
y(x, t) = A\cos(kx - \omega t) \quad \text{e} \quad y(x, t) = A\sin(kx - \omega t),
$$
com $ |v| = \frac{\omega}{k} $.
Qualquer outra solução pode ser expressa como uma combinação linear dessas soluções. Além disso, as funções complexas:
$$
y(x, t) = e^{i(kx - \omega t)} \quad \text{e} \quad y(x, t) = e^{-i(kx - \omega t)}
$$
também são combinações lineares de $ \cos(kx - \omega t) $ e $ \sin(kx - \omega t) $, utilizando as identidades de Euler:
$$
e^{i(kx - \omega t)} = \cos(kx - \omega t) + i\sin(kx - \omega t),
$$
$$
e^{-i(kx - \omega t)} = \cos(kx - \omega t) - i\sin(kx - \omega t).
$$
Conexão entre as Soluções
As soluções da equação de Schrödinger para partículas livres têm uma estrutura matemática semelhante às soluções da equação de onda para cordas. Ambas envolvem funções