Eletrostática

Eletrostática

As equações fundamentais da eletrostática são equações lineares, $$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla \times \mathbf{E} = 0 \quad \text{(unidades SI)}. $$ O princípio da superposição se aplica.

A força eletrostática sobre uma partícula com carga $q$ na posição $\mathbf{r}$ é $$ \mathbf{F} = q \mathbf{E}(\mathbf{r}) $$. $$ \nabla \times \mathbf{E} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{E} = -\nabla \Phi, \quad \nabla^2 \Phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}. $$ $\Phi$ é o potencial eletrostático.

Fórmulas Importantes

• O campo em $\mathbf{r}$ devido a uma carga pontual em $\mathbf{r’}$: $$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q (\mathbf{r} - \mathbf{r’})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r’}|^3}. $$

• O campo de uma distribuição de cargas: $$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[\int_V dV’ \frac{\rho(\mathbf{r’}) (\mathbf{r} - \mathbf{r’})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r’}|^3} + \int_A dA’ \frac{\sigma(\mathbf{r’}) (\mathbf{r} - \mathbf{r’})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r’}|^3} + \dots \right]. $$

• O potencial em $\mathbf{r}$ devido a uma carga pontual em $\mathbf{r’}$: $$ \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r’}|}. $$

• O potencial de uma distribuição de cargas: $$ \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[\int_V dV’ \frac{\rho(\mathbf{r’})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r’}|} + \int_A dA’ \frac{\sigma(\mathbf{r’})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r’}|} + \dots \right]. $$

• A lei de Gauss: $$ \int_{\text{superfície fechada}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{dentro}}}{\epsilon_0}. $$

Em situações com simetria suficiente, a Lei de Gauss pode ser usada sozinha para encontrar $\mathbf{E}$.

• A energia eletrostática de uma distribuição de cargas: $$ U = \frac{1}{2} \int \Phi(\mathbf{r}) dq(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} \left[\int_V dV , \rho(\mathbf{r}) \Phi(\mathbf{r}) + \int_A dA , \sigma(\mathbf{r}) \Phi(\mathbf{r}) + \dots \right], $$ ou, para uma distribuição contínua de carga, $$ U = \frac{\epsilon_0}{2} \int_{\text{todo o espaço}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{E} , dV. $$

Dipolos

• O campo de um dipolo na origem: $$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r^3} \left[ 3(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) \frac{\mathbf{r}}{r^2} - \mathbf{p} \right]. $$

• O potencial de um dipolo na origem: $$ \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{r^3}. $$

• A força sobre um dipolo: $$ \mathbf{F} = \nabla (\mathbf{p} \cdot \mathbf{E}). $$

• O torque sobre um dipolo: $$ \tau = \mathbf{p} \times \mathbf{E}. $$

• A energia de um dipolo em um campo externo: $$ U = -\mathbf{p} \cdot \mathbf{E}. $$

Propriedades dos condutores em eletrostática

• $ \mathbf{E} = 0 $ dentro do condutor.
• $ \rho = 0 $ dentro do condutor.
• Toda carga excessiva reside na superfície.
• O campo $\mathbf{E}$ na superfície é perpendicular à superfície.
• $ \mathbf{E} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n} $ logo fora da superfície.

Condições de contorno em eletrostática

• $$ (\mathbf{E_2} - \mathbf{E_1}) \cdot \hat{n_2} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}, $$
• $$ (\mathbf{E_2} - \mathbf{E_1}) \cdot \hat{t} = 0, $$
• $$ (\mathbf{D_2} - \mathbf{D_1}) \cdot \hat{n_2} = \sigma_f, $$
• $$ \Phi \text{ é contínuo na fronteira.} $$

Métodos para resolver problemas eletrostáticos

A expansão multipolar

Para uma distribuição de carga localizada perto da origem, temos $$ \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[\frac{Q}{r} + \frac{\mathbf{p} \cdot \hat{r}}{r^2} + \frac{1}{2r^5} \sum_{ij} 3x_i x_j Q_{ij} + \dots \right], $$ com $ \mathbf{p} = \int_V dV’ \rho(\mathbf{r’}) \mathbf{r’} $ e $$ Q_{ij} = \int (x_i’ x_j’ - \frac{1}{3} \delta_{ij} r’^2) \rho(\mathbf{r’}) dV’, $$ $Q_{ij} = Q_{ji}$, $\sum_i Q_{ii} = 0$.

O método das imagens

Considere uma carga $q$ em $z = d$ no eixo $z$.

• Suponha que o plano $z = 0$ seja um plano condutor aterrada. Então, colocando uma carga imagem $q’ = -q$ em $d’ = -d$ no eixo $z$, o plano $z = 0$ se torna um equipotencial com $\Phi = 0$.
• Suponha uma esfera condutora de raio $R < d$ centrada na origem. Então, colocando uma carga imagem $q’ = -q \frac{R}{d}$ em $d’ = \frac{R^2}{d}$ no eixo $z$, a esfera se torna um equipotencial com $\Phi = 0$. Adicione $q’’$ no centro da esfera para modificar o potencial ou a carga total na esfera.

O teorema da unicidade

Quando resolvemos problemas eletrostáticos, frequentemente dependemos do teorema da unicidade. Se a densidade de carga $\rho$ for especificada em toda a região $V$, e o potencial $\Phi$ ou suas derivadas normais forem especificadas nas fronteiras da região $V$, então existe uma solução única para $\Phi$ dentro de $V$.

Problemas de valor de contorno

Em regiões com $\rho = 0$, temos $\nabla^2 \Phi = 0$. Estamos procurando uma solução para $\nabla^2 \Phi = 0$, sujeita a condições de contorno. Deixe $\Phi = \Phi(r, \theta)$, com $0 \leq \theta \leq \pi$ em coordenadas esféricas, ou seja, deixe o problema ter simetria azimutal.

A solução mais geral para $\nabla^2 \Phi = 0$ é $$ \Phi(r, \theta) = \sum_{n=0}^{\infty} [A_n r^n + B_n r^{-n-1}] P_n(\cos\theta). $$

Deixe $\Phi = \Phi(\rho, \phi)$, com $0 \leq \theta \leq 2\pi$ em coordenadas cilíndricas. A solução mais geral para $\nabla^2 \Phi = 0$ é $$ \Phi(\rho, \phi) = \sum_{n=1}^{\infty} (A_n \cos(n\phi) + B_n \sin(n\phi)) \rho^n + \sum_{n=1}^{\infty} (A’_n \cos(n\phi) + B’_n \sin(n\phi)) \rho^{-n} + a_0 + b_0 \ln \rho. $$