Dispersão Elástica

Em um experimento típico de dispersão, um alvo é atingido por um feixe de partículas mono-energéticas.
Seja $F_i$ o fluxo incidente, ou seja, o número de partículas por unidade de área por unidade de tempo.
$$F_i = n_p v$$,

onde $n_p$ é o número de partículas por unidade de volume.

Normalmente, $n_p$ é muito pequeno, e podemos negligenciar qualquer interação entre as partículas incidentes.
Medimos o número $\Delta N_p$ de partículas dispersas por unidade de tempo em um ângulo sólido $\Delta \Omega$ ao redor da direção definida pelas coordenadas esféricas $\theta$ e $\phi$.
Esperamos que $\Delta N_p \propto F_i$, e $\Delta N_p \propto \Delta \Omega$.
Definimos $\Delta N_p = \sigma_t(\theta,\phi) F_i \Delta \Omega$. Aqui, $\sigma_t(\theta,\phi)$ é a seção transversal diferencial de dispersão do alvo. Ela tem as unidades de área. As unidades comumente usadas são cm² e barn = $10^{-24}$ cm².

Método das Ondas Parciais

Suponha uma função de energia potencial central de alcance finito, ou seja, $U(r) \to 0$ quando $r \to \infty$ mais rapidamente do que $1/r$.
Então, as soluções de estados estacionários da equação eigenvalor $$H\Phi_k(r) = E_k \Phi_k(r)$$ com a forma assintótica
$$\Phi_k(r) = e^{ikz} + f_k(\theta) \frac{e^{ikr}}{r} = \sum_{l=0}^{\infty} c_l P_l(\cos\theta) \frac{\sin(kr - l\pi/2 + \delta_l)}{kr}$$ existem. Aqui,
$$ f_k(\theta) = \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \exp(i\delta_l) \sin\delta_l P_l(\cos\theta)$$ é a amplitude de dispersão, $\delta_l$ é chamada de deslocamento de fase da onda parcial $l$.
A seção transversal diferencial de dispersão é
$$ \sigma_k(\theta) = \frac{d\sigma_k}{d\Omega} = |f_k(\theta)|^2 = \frac{1}{k^2} \left| \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \exp(i\delta_l) \sin\delta_l P_l(\cos\theta) \right|^2$$,
e a seção transversal total de dispersão é
$$ \sigma_k = \int \int \sigma_k(\theta) \sin\theta d\theta d\phi = \frac{4\pi}{k^2} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \sin^2\delta_l $$.
Seja $R$ o alcance do potencial. Se $kR « \sqrt{l(l + 1)}$, então $\delta_l = 0$.

Dispersão de Baixa Energia

Suponha $$kR « \sqrt{l(l + 1)}$$ para todo $l$ exceto $l = 0$. Então,
$$f_k(\theta) = \frac{1}{k} \exp(i\delta_0) \sin\delta_0$$,
$$\sigma_k(\theta) = \frac{1}{k^2} \sin^2\delta_0$$,
e
$$\sigma_k = \frac{4\pi}{k^2} \sin^2\delta_0$$.
Isso é chamado de dispersão tipo $s$.

[Para derivar a expressão $$ f_k(\theta) = \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \exp(i\delta_l) \sin\delta_l P_l(\cos\theta)$$

, expandimos $\Phi_k(r)$

em termos das funções próprias comuns de $H$, $L^2$ e $L_z$, $$|klm\rangle = \frac{u(r)}{r} Y_{lm}(\theta,\phi)$$ Na mecânica clássica, uma partícula livre com momento angular $L$ em relação à origem e momento $p$ se move em linha reta com a distância mínima da origem $b = \frac{L}{p}$; $b$ é chamada de parâmetro de impacto relativo à origem.
Se $L = \hbar \sqrt{l(l + 1)}$ e $p = \hbar k$, então $b_l(k) = \frac{1}{k} \sqrt{l(l + 1)}$.
$b_l(k)$ é o raio onde o potencial de barreira de momento angular,

$$U_{\text{eff}}(r) = \frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}$$, é igual à energia.

Aproximação de Born

A seção transversal de dispersão elástica na Aproximação de Born é
$$\sigma_k^B(\theta,\phi) = \sigma_k^B(k,k’) = \frac{\mu^2}{4\pi^2 \hbar^4} \left| \int d^3r’ \exp(-iq \cdot r’) U(r’) \right|^2$$,
onde $$q = k’ - k$$, $$k = \frac{\mu v_0}{\hbar}$$, $$k’ = \frac{\mu v_0}{\hbar} \left( \frac{k’}{k} \right)$$, e $\mu$ é a massa reduzida.

A seção transversal diferencial de dispersão é proporcional ao quadrado da transformada de Fourier do potencial.
Frequentemente, queremos saber a seção transversal de dispersão como uma função do ângulo de dispersão e não como uma função da transferência de momento. Seja $\theta$ o ângulo entre $k$ e $k’$. Então, $$q = 2k \sin(\theta/2)$$.