Polarização
A polarização $P = \frac{dp}{dV}$ é definida como o momento dipolar por unidade de volume.
A densidade total de carga é devida às cargas livres e às cargas ligadas (polarização):
$$ \rho = \rho_f + \rho_p, \quad \sigma = \sigma_f + \sigma_p, \quad \rho_p = - \nabla \cdot P, \quad \sigma_p = P \cdot n $$
Definição: $D = \epsilon_0 E + P$, logo $\nabla \cdot D = \rho_f$ (Lei de Gauss para $D$).
Para dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos (lih) temos:
$$ P = \epsilon_0 \chi_e E, \quad D = \epsilon_0 (1 + \chi_e) E = \epsilon_0 \kappa_e E = \epsilon E $$
$$ \nabla^2 \Phi = -\frac{\rho_f}{\epsilon} $$
O Método das Imagens
Assuma que o plano $z = 0$ é uma interface plana entre dois dielétricos. Considere uma carga $q$ em $z = d$ no eixo $z$ no dielétrico $\epsilon_1$. Colocando uma carga imagem $q’ = -q \left( \frac{\epsilon_2 - \epsilon_1}{\epsilon_2 + \epsilon_1} \right)$ em $z’ = -d$ no eixo $z$ em um meio com $\epsilon_2$, obtemos o potencial e o campo no dielétrico 1. E substituindo $q$ por uma carga imagem $q’’ = q \left( \frac{2\epsilon_2}{\epsilon_2 + \epsilon_1} \right)$ em $z’’ = d$ no eixo $z$ em um meio com $\epsilon_2$, obtemos o potencial e o campo no dielétrico 2.
Energia em Dielétricos
A energia eletrostática armazenada em uma distribuição de carga é dada por:
$$ U = \frac{\epsilon_0}{2} \int_{\text{todo o espaço}} E \cdot E , dV $$
Na presença de um dielétrico, o trabalho total realizado na montagem das cargas livres em uma distribuição de carga é:
$$ W = \frac{1}{2} \int_{\text{todo o espaço}} E \cdot D , dV $$
Que se torna:
$$ W = \frac{\epsilon}{2} \int_{\text{todo o espaço}} E \cdot E , dV $$
em um material linear, isotrópico e homogêneo.
Note que:
$$ W > U $$
À medida que você realiza trabalho sobre as cargas livres contra as forças eletrostáticas, o campo elétrico realiza trabalho sobre as cargas ligadas contra as forças não eletrostáticas, reduzindo a energia potencial eletrostática total armazenada no sistema. Parte do trabalho externo é armazenado como energia potencial não eletrostática.