Fatorial mais um

Escreva um programa que encontre um inteiro positivo n > 7 para o qual n! + 1 seja um quadrado perfeito.

Três exemplos menores são conhecidos:

$$ 4! + 1 = 25 = 5^2 $$

$$ 5! + 1 = 121 = 11^2 $$

$$ 7! + 1 = 5041 = 71^2 $$

Uma busca direta em Python:

from math import isqrt

n = 7
fatorial = 5040

while True:
    n += 1
    fatorial *= n

    candidato = fatorial + 1
    raiz = isqrt(candidato)

    if raiz * raiz == candidato:
        print(n, raiz)
        break

Desafio: esse programa algum dia termina, supondo tempo e memória ilimitados?

Não se conhece outra solução além das três apresentadas, nem uma demonstração de que elas sejam as únicas.

Testar muitos valores sem encontrar uma resposta não prova que o programa nunca terminará.