Introdução

Considere uma cadeia de decaimento radioativo:

$$ X_1 \rightarrow X_2 \rightarrow \cdots \rightarrow X_n $$

Cada núcleo $X_j$ decai com constante de decaimento $\lambda_j$, e uma fração $b_j$ gera o próximo elemento da cadeia.

Definimos $N_j(t)$ como a quantidade de $X_j$ no tempo $t$, produzida ao longo da cadeia.

O sistema é descrito por:

$$ \frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1 $$

$$ \frac{dN_j}{dt} = b_{j-1}\lambda_{j-1}N_{j-1} - \lambda_j N_j, \quad j \ge 2 $$

Solução geral via convolução

A solução para $N_n(t)$ pode ser escrita como:

$$ N_n(t) = N_1(0), a_n, E_n(t;\lambda_1,\dots,\lambda_n) $$

onde:

$$ a_n = b_1 b_2 \cdots b_{n-1} \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1} $$

e

$$ E_n(t;\lambda_1,\dots,\lambda_n) $$

é a convolução de exponenciais.

Convolução de exponenciais

A convolução é definida por:

$$ (f * g)(t) = \int_0^t f(t-s)g(s),ds $$

e, neste caso:

$$ E_n(t) = e^{-\lambda_1 t} * e^{-\lambda_2 t} * \cdots * e^{-\lambda_n t} $$

Essa estrutura aparece também em probabilidade como soma de variáveis exponenciais independentes (distribuição hipoexponencial).

Exemplo trabalhado de convolução

Exemplo: $e^{-t} * t^r$

Esse tipo de convolução aparece ao aproximar termos para tempos pequenos.

(e^{-t} * t^r)(t) = \int_0^t e^{-(t-s)} s^r , ds

Vamos calcular:

$$ (e^{-t} * t^r)(t) = \int_0^t e^{-(t-s)} s^r ds $$

Fatorando:

$$ = e^{-t} \int_0^t e^s s^r ds $$

Para $r=1$:

$$ \int_0^t e^s s, ds $$

Integração por partes:

  • $u = s$, $dv = e^s ds$
  • $du = ds$, $v = e^s$

Então:

$$ \int e^s s ds = s e^s - \int e^s ds = s e^s - e^s $$

Aplicando limites:

$$ \int_0^t e^s s ds = (t-1)e^t + 1 $$

Logo:

$$ (e^{-t} * t)(t) = e^{-t}[(t-1)e^t + 1] = t - 1 + e^{-t} $$

Esse resultado aparece diretamente nas funções interpoladoras do artigo.

Comportamento para tempos pequenos

Se $t$ é pequeno comparado a todos os tempos de meia-vida:

$$ T_j = \frac{\ln 2}{\lambda_j} $$

temos:

$$ N_n(t) \approx N_1(0), a_n \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} $$

Interpretação:

  • cada etapa da cadeia adiciona uma integração
  • cada integração adiciona um fator $t$

Logo surge a lei de potência $t^{n-1}$

Aproximação exponencial corrigida

Uma aproximação melhor para tempos pequenos é:

$$ N_n(t) \approx N_1(0), a_n \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda t} $$

onde $\lambda$ é a média das constantes de decaimento.

Isso corrige o crescimento inicial com um amortecimento exponencial.

Comportamento para tempos intermediários

Ordene as constantes:

$$ \mu_1 \le \mu_2 \le \cdots \le \mu_n $$

e defina os tempos de meia-vida ordenados:

$$ S_j = \frac{\ln 2}{\mu_j} $$

Se:

$$ S_{m+1} \ll t \ll S_m $$

então:

$$ N_n(t) \approx N_1(0), a_m \frac{t^{m-1}}{(m-1)!} $$

Interpretação:

  • decaimentos rápidos já ocorreram
  • restam apenas $m$ etapas efetivas
  • o sistema “reduz de dimensão”

Perda de potência

À medida que $t$ cresce:

  • inicialmente: $t^{n-1}$
  • depois: $t^{n-2}$
  • depois: $t^{n-3}$
  • …

Cada vez que cruzamos uma meia-vida, a potência diminui em 1.

Funções interpoladoras

Para descrever a transição entre regimes, usa-se:

$$ G_m(t) = \underbrace{1 * 1 * \cdots * 1}_{m\ \text{vezes}} * e^{-t} $$

Exemplo explícito:

$$ G_2(t) = t - 1 + e^{-t} $$

Esse é exatamente o resultado do exemplo de convolução mostrado antes.

Propriedades:

  • para $t$ pequeno: $G_m(t) \sim \frac{t^m}{m!}$
  • para $t$ grande: $G_m(t) \sim \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}$

Ou seja, conecta dois regimes de lei de potência.

Interpretação probabilística

A função:

$$ A_n(t) = \lambda_1 \cdots \lambda_n E_n(t) $$

é a densidade da soma:

$$ T = T_1 + \cdots + T_n $$

onde $T_j \sim \text{Exp}(\lambda_j)$.

Isso conecta:

  • física nuclear
  • teoria da confiabilidade
  • filas e sistemas estocásticos

Problema numérico importante

A fórmula exata envolve soma de termos como:

$$ \sum_j C_j e^{-\lambda_j t} $$

Para $t$ pequeno:

  • termos grandes se cancelam
  • ocorre perda de precisão numérica

As aproximações por lei de potência evitam esse problema.

Resumo estrutural

O comportamento de $N_n(t)$ é:

  • tempo pequeno: $$ N_n(t) \sim t^{n-1} $$

  • regimes intermediários: $$ N_n(t) \sim t^{m-1} $$

  • tempo grande: dominado pelo menor $\lambda$

  • transições: descritas por convoluções como $G_m(t)$

Conclusão

As contribuições principais são:

  • descrição do comportamento em tempos intermediários
  • aproximações por lei de potência locais
  • funções interpoladoras baseadas em convolução
  • controle de erro e validade

Esses resultados permitem:

  • entender qualitativamente a dinâmica
  • calcular com estabilidade numérica
  • conectar EDOs com probabilidade e convoluções