Movimento de Corpo Rígido

Definição de Corpo Rígido

Um corpo rígido é um sistema de partículas em que as distâncias entre as partículas não variam. Para descrever o movimento de um corpo rígido, utilizamos dois sistemas de coordenadas: um sistema fixo no espaço (X, Y, Z) e um sistema em movimento (x, y, z), que é rigidamente fixado no corpo e participa de seu movimento.

O centro de massa (CM) do corpo é a origem do sistema de coordenadas fixo ao corpo. A orientação dos eixos desse sistema em relação aos eixos do sistema fixo no espaço é dada por três ângulos independentes. O vetor $\mathbf{R}$ aponta da origem do sistema fixo no espaço até o CM do corpo. Assim, um corpo rígido é um sistema mecânico com seis graus de liberdade.

Velocidade e Energia Cinética

A posição de um ponto arbitrário $P$ no sistema fixo ao corpo é dada por $r + \mathbf{R}$, e sua velocidade é dada por:

$$ \mathbf{v} = \frac{d(\mathbf{R} + r)}{dt} = \frac{d\mathbf{R}}{dt} + \frac{dr}{dt} = \mathbf{V} + \boldsymbol{\Omega} \times r $$

Aqui, $\mathbf{V}$ é a velocidade do CM, e $\boldsymbol{\Omega}$ é a velocidade angular do corpo. A direção de $\boldsymbol{\Omega}$ é ao longo do eixo de rotação, e $\boldsymbol{\Omega} = \frac{d\phi}{dt}$.

A energia cinética do corpo é dada por:

$$ T = \frac{1}{2} \sum m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_i (\mathbf{V} + \boldsymbol{\Omega} \times r)^2 $$

Reescrevendo, obtemos:

$$ T = \frac{1}{2} M \mathbf{V}^2 + \frac{1}{2} \sum m_i (\boldsymbol{\Omega}^2 r_i^2 - (\boldsymbol{\Omega} \times r_i)^2), \quad M = \sum m_i, \quad \sum m_i r_i = 0 $$

A energia cinética é a soma da energia cinética do movimento do CM e a energia cinética da rotação em torno do CM.

Momento de Inércia e Energia de Rotação

Em forma componente, a energia de rotação é expressa como:

$$ T_{rot} = \frac{1}{2} \sum_{ij} I_{ij} \Omega_i \Omega_j $$

Onde $I_{ij}$ é o tensor de inércia:

$$ I_{ij} = \sum_k m_k \left[ \sum_l (x_k)l^2 \delta{ij} - (x_k)_i (x_k)_j \right] $$

Aqui, os $\Omega_i$ são as componentes de $\boldsymbol{\Omega}$ ao longo dos eixos do sistema fixo ao corpo.

Por uma escolha apropriada da orientação do sistema de coordenadas fixo ao corpo, o tensor de inércia pode ser reduzido à forma diagonal. As direções dos eixos $x_i$ são então chamadas de eixos principais de inércia, e os componentes diagonais do tensor são chamados de momentos principais de inércia.

A energia de rotação pode ser expressa como:

$$ T_{rot} = \frac{1}{2} \left[ I_1 \Omega_1^2 + I_2 \Omega_2^2 + I_3 \Omega_3^2 \right] $$

Momento Angular

O momento angular total de um corpo rígido sobre um ponto é dado por:

$$ L_{tot} = \sum m_i \mathbf{r}_i \times (\mathbf{V} + \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{r}_i) = M \mathbf{R} \times \mathbf{V} + \sum m_i \mathbf{r}_i \times (\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{r}_i) $$

Aqui, $L$ denota o momento angular em torno do CM do corpo.

Se $x_1$, $x_2$ e $x_3$ são os eixos principais de inércia, então:

$$ L_1 = I_1 \Omega_1, \quad L_2 = I_2 \Omega_2, \quad L_3 = I_3 \Omega_3 $$

Equações de Movimento

As equações de movimento de um corpo rígido são:

$$ \frac{d\mathbf{P}}{dt} = \mathbf{F}, \quad \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\tau} $$

Onde $\mathbf{P}$ é o momento total e $\mathbf{F}$ são as forças externas, e $\mathbf{L}$ é o momento angular em torno do CM e $\boldsymbol{\tau}$ é o torque total produzido pelas forças externas.

Para um vetor arbitrário $A$, a taxa de variação de $A$ no sistema fixo ao espaço é:

$$ \frac{dA}{dt} = \frac{d’A}{dt} + \boldsymbol{\Omega} \times A $$

Portanto, temos:

$$ \frac{d\mathbf{P}}{dt} = \frac{d’ \mathbf{P}}{dt} + \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{P} = \mathbf{F}, \quad \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d’ \mathbf{L}}{dt} + \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{L} = \boldsymbol{\tau} $$

Se os eixos fixos ao corpo forem os eixos principais de inércia, temos as equações de Euler:

$$ I_1 \frac{d\Omega_1}{dt} + (I_3 - I_2) \Omega_2 \Omega_3 = \tau_1 $$

$$ I_2 \frac{d\Omega_2}{dt} + (I_1 - I_3) \Omega_3 \Omega_1 = \tau_2 $$

$$ I_3 \frac{d\Omega_3}{dt} + (I_2 - I_3) \Omega_1 \Omega_2 = \tau_3 $$

Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner)

Seja $I$ o tensor de momento de inércia de um corpo de massa $M$, calculado em um sistema fixo ao corpo com origem no CM. Se $I’$ é o tensor de momento de inércia calculado em um sistema fixo ao corpo com eixos paralelos, mas com origem em $S’ = S + a$, então $I$ e $I’$ estão relacionados por:

$$ I’{ij} = I{ij} + M (a^2 \delta_{ij} - a_i a_j) $$

Para os elementos diagonais, temos:

$$ I’{ii} = I{ii} + M (a^2 - a_i^2) = I_{ii} + M a_{\perp}^2 $$

Equilíbrio Estático

Para um objeto estar em equilíbrio estático, a força líquida e o torque líquido sobre qualquer eixo devem ser zero.