Considere uma função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Fixe um ponto $x_0$ e escreva $y_0 = f(x_0)$. Para $x$ próximo de $x_0$, definimos $$ \Delta x = x - x_0, \quad \Delta y = f(x) - f(x_0). $$
A derivada de $f$ em $x_0$ é definida por $$ f’(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $$
Para $\Delta x$ pequeno, tem-se a aproximação $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f’(x_0), $$ o que implica $$ \Delta y \approx f’(x_0)\Delta x. $$
Reescrevendo, $$ f(x) \approx f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0). $$
Considere agora a função $A(r) = \pi r^2$. Fixe $r_0 = 24$. Então $$ A(r_0) = 576\pi. $$
A derivada é $$ A’(r) = 2\pi r, $$ logo $$ A’(r_0) = 48\pi. $$
Para uma variação $\Delta r$, tem-se $$ \Delta A \approx 48\pi ,\Delta r. $$
Se $|\Delta r| \leq 2$, então $$ |\Delta A| \approx 96\pi. $$
Se desejamos $|\Delta A| \leq 50$, então $$ 50 \approx 48\pi ,\Delta r, $$ e portanto $$ \Delta r \approx \frac{50}{48\pi}. $$
A validade da aproximação depende do tamanho de $\Delta x$. Para controle do erro, considera-se o teorema do valor médio.