Partícula em um Potencial Central
Consideremos uma partícula sem spin de massa $m$ em um potencial central $U(r)$. O operador Hamiltoniano é dado por:
$$ H = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r \right) + \frac{L^2}{2mr^2} + U(r) $$
Aqui, $L^2$ é o operador do quadrado do momento angular, e as relações de comutação $ [H, L_i] = 0 $ e $ [H, L^2] = 0 $ indicam que o momento angular $L$ é uma constante de movimento. Assim, podemos encontrar uma base comum de autovetores para $H$, $L^2$ e $L_z$.
As funções próprias correspondentes são denotadas por $ |k,l,m> $ e as funções de onda associadas por $ \psi_{klm}(r,\theta,\phi) $. Temos as seguintes relações de autovalores:
$$ H|klm> = E_{kl}|klm>, \quad L^2|klm> = \hbar^2 l(l + 1)|klm>, \quad L_z|klm> = m\hbar|klm>. $$
A função de onda $ \psi_{klm}(r, \theta, \phi) $ é dada pelo produto de uma função radial $ R_{kl}(r) $ e o harmônico esférico $ Y_{lm}(\theta, \phi) $:
$$ \psi_{klm}(r, \theta, \phi) = \frac{u_{kl}(r)}{r} Y_{lm}(\theta, \phi). $$
A equação diferencial para $ u_{kl}(r) $ é:
$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\hbar^2 l(l + 1)}{2mr^2} + U(r) \right] u_{kl}(r) = E_{kl} u_{kl}(r). $$
Comportamento Assintótico de $ R_{kl}(r) $
Perto da origem, o comportamento radial de uma função de onda aceitável para uma partícula movendo-se em um potencial central é proporcional a $ r^l $, assumindo que $ |U(r)| < |C/r^2| $ quando $ r \to 0 $.
Duas Partículas Interagindo
Em muitos casos, estamos interessados apenas no movimento relativo. Quando a interação mútua depende apenas da distância entre as partículas $ r = |r_1 - r_2| $, a equação de autovalores para o movimento relativo torna-se:
$$ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_r^2 \Phi(r) + U(r) \Phi(r) = E_r \Phi(r). $$
Com $ \Phi_{klm}(r) = \frac{u_{kl}(r)}{r} Y_{lm}(\theta, \phi) $, temos:
$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\hbar^2 l(l + 1)}{2\mu r^2} + U(r) \right] u_{kl}(r) = E_{kl} u_{kl}(r). $$
Aqui, $ \mu $ é a massa reduzida.
O Átomo de Hidrogênio
A equação de Schrödinger independente do tempo para o átomo de hidrogênio é dada por:
$$ H(r,p) \Phi(r) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 - \frac{e^2}{r} \right] \Phi(r) = E \Phi(r), $$
onde $ \mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p} \approx m_e $.
A função de onda para o átomo de hidrogênio pode ser escrita como:
$$ \Phi_{nlm}(r) = \frac{u_{nl}(r)}{r} Y_{lm}(\theta, \phi), $$
com a função radial $ u_{10}(r) = 2a_0^{-3/2} r \exp(-r/a_0) $ e a função de onda $ \Phi_{100}(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} \exp(-r/a_0) $, onde $ a_0 $ é o raio de Bohr dado por $ a_0 = \frac{\hbar^2}{\mu e^2} $.
A energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por:
$$ E_I = - \frac{e^2}{2a_0} = 13.6 , \text{eV}. $$
A energia de um estado excitado do átomo de hidrogênio é dada por:
$$ E_n = - \frac{E_I}{n^2} = - \frac{\mu}{2n^2} \alpha^2 c^2. $$
Aqui, $ \alpha $ é a constante de estrutura fina, e $ n $ é o número quântico principal que determina a energia do estado.
Átomos Hidrogênicos
Para encontrar as funções próprias e os autovalores do Hamiltoniano de um átomo hidrogênico, substituímos em suas funções próprias o raio de Bohr $ a_0 $ por $ a_0’ = \frac{\hbar^2}{\mu’ Z e^2} = a_0 \left( \frac{\mu}{\mu’} \right) \left( \frac{1}{Z} \right) $, e substituímos a energia $ E_I $ por $ E_I’ = \frac{\mu’ Z^2 e^4}{2 \hbar^2} = E_I \left( \frac{\mu’}{\mu} \right) Z^2 $.