Estudo Dirigido: Hard Disk Gas e Simulações Monte Carlo

Introdução

O artigo clássico “Equation of State Calculations by Fast Computing Machine” de N. Metropolis et al. (1953) marcou o início da ciência computacional como uma nova forma de explorar o mundo físico, complementando a experimentação e a teoria. Nesse estudo, foi realizada a primeira simulação computacional de um sistema físico: um gás de discos rígidos descrito pela teoria cinética de Maxwell-Boltzmann.

Modelo do Sistema

O sistema é tratado como um gás de discos rígidos a volume e temperatura constantes. A energia total do sistema é definida como:

$$E = K.E. + P.E. = \frac{m}{2} \sum_i v_i^2 + \sum_{i, j} U(r_{ij})$$ onde a energia potencial entre pares de partículas é descrita pela função:

$$ U(r) = \begin{cases} 0, & \text{se } r > \sigma, \ \infty, & \text{se } r \leq \sigma, \end{cases} $$ com $$ \sigma $$ sendo o diâmetro dos discos.

Equilíbrio Térmico

O sistema segue a distribuição de Boltzmann, que determina a probabilidade de uma configuração ter energia $$ E $$:

$$ P(E) \propto W \exp\left(-\frac{E}{k_B T}\right), $$

onde $$ W $$ é o número de configurações microscópicas possíveis, $$ k_B $$ é a constante de Boltzmann, e $$ T $$ é a temperatura absoluta.

A função de partição $$ Z $$ é dada por:

$$ Z = \sum_E W(E) \exp\left(-\frac{E}{k_B T}\right). $$ A equação de estado relaciona pressão $$ p $$, volume $$ V $$ e temperatura $$ T $$:

$$ pV = N k_B T \frac{\partial \log Z}{\partial \log V}.$$

Simulação Monte Carlo

Metropolis et al. simularam $$ N = 224 $$ discos em uma rede triangular com condições de contorno periódicas. Essas condições permitem aproximar um sistema infinito, evitando tratar diretamente os limites do recipiente.

Passos da Simulação:

  1. Configuração Inicial:

    • Discos organizados em uma rede triangular com $$ 14 \times 16 $$ discos.

  2. Condições de Contorno:

    • Condições periódicas para evitar bordas.

  3. Cálculo da Função de Distribuição Radial:

    • Dividir a região $$ r = d $$ a $$r_{\text{max}}$$ em 64 zonas anulares de mesma área.
    • Contar os discos em cada zona para formar um histograma.
    • Repetir para cada configuração Monte Carlo e calcular a média.

  4. Ajuste e Extrapolação:

    • Ajustar o histograma com uma função modelo e extrapolar para obter $$ n(r) $$.

Resultados e Conclusões

A equação de estado foi deduzida a partir da função de distribuição radial $$ n(r) $$:

$$ pA = N k_B T \left( 1 + \pi d_0^2 n^2 \right),$$ usando o Teorema do Virial de Clausius. Os resultados mostram como as interações entre partículas influenciam a pressão e o comportamento termodinâmico.

Pontos a serem explorados

  1. Leia o artigo original e identifique os conceitos fundamentais utilizados na simulação.
  2. Implemente uma simulação Monte Carlo semelhante em linguagem de programação de sua escolha.
  3. Compare os resultados obtidos com os dados fornecidos no artigo.

Dica: Utilize bibliotecas matemáticas e gráficos para analisar os resultados da função de distribuição radial.

Boa sorte!

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Referências

Metropolis, N., Rosenbluth, A. W., Rosenbluth, M. N., Teller, A. H., & Teller, E. (1953). Equation of state calculations by fast computing machines. The Journal of Chemical Physics, 21(6), 1087-1092. Disponível em: https://pubs.aip.org/aip/jcp/article-abstract/21/6/1087/202680